Теорема Бляшке – Лебега - Blaschke–Lebesgue theorem - Wikipedia

А Треугольник Рело, а кривая постоянной ширины площадь которого минимальна среди всех выпуклых множеств одинаковой ширины

В плоская геометрия то Теорема Бляшке – Лебега заявляет, что Треугольник Рело имеет наименьшую площадь из всех кривые заданной постоянной ширины.^[1] В том виде, в котором каждая кривая заданной ширины имеет площадь, по крайней мере равную площади треугольника Рело, она также известна как Неравенство Бляшке – Лебега.^[2] Он назван в честь Вильгельм Блашке и Анри Лебег, опубликовавший его отдельно в начале 20 века.

Заявление

Ширина выпуклого множества ${\displaystyle K}$ в евклидовой плоскости определяется как минимальное расстояние между любыми двумя параллельными линиями, которые его окружают. Обе линии с минимальным расстоянием обязательно касательные линии к ${\displaystyle K}$, с противоположных сторон. А кривая постоянной ширины является границей выпуклого множества со свойством, что для любого направления параллельных прямых две касательные с этим направлением, которые касаются противоположных сторон кривой, находятся на расстоянии, равном ширине. Эти кривые включают как круг, так и Треугольник Рело, изогнутый треугольник, образованный дугами трех окружностей равного радиуса, каждая с центром в точке пересечения двух других окружностей. Площадь, ограниченная треугольником Рело шириной ${\displaystyle w}$ является

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(\pi -{\sqrt {3}})w^{2}\approx 0.70477w^{2}.}$

Теорема Бляшке – Лебега утверждает, что это единственная минимально возможная площадь кривой постоянной ширины, а неравенство Бляшке – Лебега утверждает, что каждое выпуклое множество ширины ${\displaystyle w}$ имеет площадь, по крайней мере, такую ​​большую, с равенством только тогда, когда множество ограничено треугольником Рело.^[1]

История

Теорема Бляшке – Лебега была независимо опубликована в 1914 г. Анри Лебег^[3] а в 1915 г. Вильгельм Блашке.^[4] Со времени их работы было опубликовано еще несколько доказательств.^{[5][6][7][8][9][10]}

В других самолетах

Та же теорема верна и в гиперболическая плоскость.^[11] Для любой выпуклой функции расстояния на плоскости (расстояние, определяемое как норма векторной разности точек для любой нормы) справедлива аналогичная теорема, согласно которой кривая с минимальной площадью постоянной ширины является пересечением трех метрических дисков, каждый из которых центрируется в граничной точке двух других.^[12][13]

Заявление

Теорема Бляшке – Лебега использовалась, чтобы предоставить эффективную стратегию для обобщений игры Линкор, в котором у одного игрока есть корабль, образованный пересечением целочисленной сетки с выпуклым множеством, а другой игрок, найдя одну точку на этом корабле, стремится определить его местоположение, используя как можно меньше пропущенных выстрелов. Для корабля с ${\displaystyle n}$ точек сетки, можно ограничить количество пропущенных выстрелов ${\displaystyle O(\log \log n)}$.^[14]

Связанные проблемы

Посредством изопериметрическое неравенство, кривая постоянной ширины в евклидовой плоскости с наибольшей площадью представляет собой круг.^[1] В периметр кривой постоянной ширины ${\displaystyle w}$ является ${\displaystyle \pi w}$вне зависимости от формы; это Теорема Барбье.^[15]

Неизвестно, какие поверхности постоянной ширины в трехмерном пространстве имеют минимальный объем. Боннесен и Фенчель в 1934 году предположили, что минимизаторы - это два тела Мейснера, полученные путем округления некоторых ребер Тетраэдр Рёло,^[16] но это остается недоказанным.^[17]

Рекомендации

1. Грубер, Питер М. (1983), Выпуклость и ее приложения, Биркхойзер, стр.67, ISBN  978-3-7643-1384-5
2. Мартини, Хорст; Монтехано, Луис; Оливерос, Дебора (2019), Тела постоянной ширины: введение в выпуклую геометрию с приложениями, Birkhäuser / Springer, Cham, стр. 336, г. Дои:10.1007/978-3-030-03868-7, ISBN  978-3-030-03866-3, МИСТЕР  3930585
3. Лебег, Анри (1914), "Sur le problème des isopérimètres et sur les domaines de largeur constante", Bulletin de la Société Mathématique de France, 7: 72–76
4. Блашке, Вильгельм (1915), "Konvexe Bereiche gegebener konstanter Breite und kleinsten Inhalts", Mathematische Annalen, 76 (4): 504–513, Дои:10.1007 / BF01458221, МИСТЕР  1511839
5. Фудзивара, Мацусабуро (1927), «Аналитическое доказательство теоремы Бляшке о кривой постоянной ширины с минимальной площадью», Известия Императорской Академии, 3 (6): 307–309, МИСТЕР  1568234; Фудзивара, Мацусабуро (1931), "Аналитическое доказательство теоремы Бляшке о кривой постоянной ширины II", Известия Императорской Академии, 7 (8): 300–302, МИСТЕР  1568319
6. Майер, Антон Э. (1935), "Der Inhalt der Gleichdicke", Mathematische Annalen, 110 (1): 97–127, Дои:10.1007 / BF01448020, МИСТЕР  1512931
7. Эгглстон, Х. Г. (1952), "Доказательство теоремы Бляшке о треугольнике Рило", Ежеквартальный математический журнал, Вторая серия, 3: 296–297, Дои:10.1093 / qmath / 3.1.296, МИСТЕР  0051543
8. Гандехари, Мостафа (1996), "Формулировка оптимального управления теоремы Бляшке-Лебега", Журнал математического анализа и приложений, 200 (2): 322–331, Дои:10.1006 / jmaa.1996.0208, МИСТЕР  1391153
9. Харрелл, Эванс М. II (2002), "Прямое доказательство теоремы Бляшке и Лебега", Журнал геометрического анализа, 12 (1): 81–88, Дои:10.1007 / BF02930861, МИСТЕР  1881292
10. Малаголи, Федерика (2009), "Подход теории оптимального управления к теореме Бляшке – Лебега", Журнал выпуклого анализа, 16 (2): 391–407, МИСТЕР  2559951
11. Араужо, Пауло Вентура (1997), "Минимальная площадь набора постоянной ширины в гиперболической плоскости", Geometriae Dedicata, 64 (1): 41–53, Дои:10.1023 / А: 1004920201363, МИСТЕР  1432533
12. Оманн, Д. (1952), "Экстремальные проблемы с конвекцией Bereiche der euklidischen Ebene", Mathematische Zeitschrift, 55: 346–352, Дои:10.1007 / BF01181132, МИСТЕР  0048831
13. Чакерян, Г. Д. (1966), «Наборы постоянной ширины», Тихоокеанский математический журнал, 19: 13–21, МИСТЕР  0205152
14. Кромбез, Лоик; da Fonseca, Guilherme D .; Джерард, Ян (2020), «Эффективные алгоритмы для линкора», в Фарач-Колтон, Мартин; Пренсипи, Джузеппе; Уэхара, Рюхей (ред.), 10-я Международная конференция по развлечениям с алгоритмами (FUN 2021), Международный журнал Лейбница по информатике (LIPIcs), 157, Дагштуль, Германия: Schloss Dagstuhl – Leibniz-Zentrum für Informatik, стр. 11: 1–11: 15, Дои:10.4230 / LIPIcs.FUN.2021.11, ISBN  978-3-95977-145-0
15. Барбье, Э. (1860 г.), "Note sur le problème de l'aiguille et le jeu du Joint Couvert" (PDF), Journal de mathématiques pures et appliquées, 2^е série (на французском языке), 5: 273–286. См., В частности, стр. 283–285.
16. Боннесен, Томми; Фенчель, Вернер (1934), Theorie der konvexen Körper, Springer-Verlag, стр. 127–139.
17. Ансиа, Анри; Гильфойл, Брендан (2011), "О трехмерной проблеме Бляшке – Лебега", Труды Американского математического общества, 139 (5): 1831–1839, Дои:10.1090 / S0002-9939-2010-10588-9, МИСТЕР  2763770