Парадокс мальчика или девочки - Boy or Girl paradox

В Парадокс мальчика или девочки окружает набор вопросов в теория вероятности, которые также известны как Проблема двух детей,^[1] Дети мистера Смита^[2] и Задача миссис Смит. Первоначальная постановка вопроса восходит как минимум к 1959 году, когдаМартин Гарднер показал это в своем октябре 1959 года "Колонка "Математические игры" " в Scientific American. Он назвал это Проблема двух детей, и сформулировал парадокс следующим образом:

У мистера Джонса двое детей. Старший ребенок - девочка. Какова вероятность того, что оба ребенка девочки?
У мистера Смита двое детей. По крайней мере, один из них - мальчик. Какова вероятность того, что оба ребенка мальчики?

Гарднер изначально дал ответы 1/2 и 1/3соответственно, но позже признал, что второй вопрос был неоднозначным.^[3] Его ответ мог быть 1/2, в зависимости от того, какая информация была доступна помимо этого, только один ребенок был мальчиком. Двусмысленность, зависящая от точной формулировки и возможных предположений, была подтверждена Бар-Гиллелем и Фальком,^[4] и Никерсон.^[5]

Другие варианты этого вопроса, с различной степенью двусмысленности, были популяризированы Спросите Мэрилин в Журнал Parade,^[6] Джон Тирни из Нью-Йорк Таймс,^[7] и Леонард Млодинов в Прогулка пьяницы.^[8] Одно научное исследование показало, что при передаче идентичной информации, но с разными частично двусмысленными формулировками, подчеркивающими разные моменты, процент MBA студенты, которые ответили 1/2 изменилось с 85% до 39%.^[2]

Парадокс вызвал много споров.^[5] Много людей^{[ВОЗ? ]} решительно выступал за обе стороны с большой уверенностью, иногда проявляя пренебрежение к тем, кто придерживался противоположной точки зрения^{[нужна цитата ]}. Парадокс проистекает из того, схожа ли постановка задачи для двух вопросов.^[2]^[8] Интуитивно понятный ответ: 1/2.^[2] Этот ответ интуитивно понятен, если вопрос заставляет читателя поверить в то, что есть две равновероятные возможности для пола второго ребенка (то есть мальчика и девочки),^[2]^[9] и что вероятность этих результатов абсолютна, а не условный.^[10]

Общие предположения

Два возможных ответа разделяют ряд предположений. Во-первых, предполагается, что пространство всех возможных событий можно легко перечислить, обеспечивая экстенсиональное определение исходов: {BB, BG, GB, GG}.^[11] Это обозначение указывает на то, что существует четыре возможных комбинации детей, обозначающих мальчиков B и девочек G и использующих первую букву для обозначения старшего ребенка. Во-вторых, предполагается, что эти исходы равновероятны.^[11] Отсюда следует следующее модель, а Процесс Бернулли с п = 1/2:

Каждый ребенок может быть мужчиной или женщиной.
Каждый ребенок имеет одинаковые шансы стать мужчиной и женщиной.
Пол каждого ребенка не зависит от пола другого.

Математический результат был бы таким же, если бы он был сформулирован в терминах подбрасывание монеты.

Первый вопрос

У мистера Джонса двое детей. Старший ребенок - девочка. Какова вероятность того, что оба ребенка девочки?

При сделанных предположениях в этой задаче выбирается случайное семейство. В этом пробном пространстве четыре равновероятный События:

Старший ребенок	Младший ребенок
Девочка	Девочка
Девочка	Мальчик
~~Мальчик~~	~~Девочка~~
~~Мальчик~~	~~Мальчик~~

Только два из этих возможных событий соответствуют критериям, указанным в вопросе (т. Е. GG, GB). Поскольку обе из двух возможностей в новом пространстве выборки {GG, GB} равновероятны, и только одна из двух, GG, включает двух девушек, вероятность того, что младший ребенок тоже девочка, 1/2.

Второй вопрос

У мистера Смита двое детей. По крайней мере, один из них - мальчик. Какова вероятность, что оба ребенка мальчики?

Этот вопрос идентичен первому, за исключением того, что вместо указания того, что старший ребенок - мальчик, уточняется, что по крайней мере один из них - мальчик. В ответ на критику читателей вопроса, поставленного в 1959 году, Гарднер согласился с тем, что точная формулировка вопроса имеет решающее значение для получения разных ответов на вопросы 1 и 2. В частности, Гарднер утверждал, что «неспособность указать процедуру рандомизации» может привести читателей интерпретировать вопрос двумя разными способами:

Из всех семей с двумя детьми, хотя бы один из которых - мальчик, случайным образом выбирается семья. Это даст ответ 1/3.
Из всех семей с двумя детьми случайным образом выбирается один ребенок, и пол этого ребенка указывается мальчиком. Это даст ответ 1/2.^[4]^[5]

Гринстед и Снелл утверждают, что вопрос неоднозначен во многом так же, как и Гарднер.^[12]

Например, если наблюдатель видит детей в саду, он может увидеть мальчика. Другой ребенок может быть спрятан за деревом. В этом случае утверждение эквивалентно второму (ребенок, который может видеть наблюдатель, - мальчик). Первое утверждение не соответствует, поскольку один случай - это один мальчик, одна девочка. Тогда девушка может быть видна. (Первое утверждение говорит, что это может быть и то, и другое.)

Хотя это, безусловно, правда, что у каждого возможного мистера Смита есть хотя бы один мальчик (то есть условие является необходимым), не совсем ясно, что каждый мистер Смит имеет хотя бы одного мальчика. То есть в постановке задачи не говорится, что наличие мальчика является достаточным условием для того, чтобы мистер Смит мог быть идентифицирован как имеющий мальчика таким образом.

Комментируя версию проблемы Гарднера, Бар-Гиллель и Фальк^[4] обратите внимание, что «мистер Смит, в отличие от читателя, предположительно знает пол обоих своих детей, когда делает это заявление», т.е. что «у меня двое детей, и по крайней мере один из них - мальчик». Если далее предположить, что г-н Смит сообщил бы об этом факте, если бы он был правдой, и промолчал бы в противном случае, то правильный ответ будет 1/3 как и предполагал Гарднер.

Анализ неоднозначности

Если предположить, что эта информация была получена, глядя на обоих детей, чтобы увидеть, есть ли там хотя бы один мальчик, то это условие является необходимым и достаточным. Три из четырех равновероятных событий для семьи с двумя детьми в приведенной выше выборке соответствуют условию, как показано в этой таблице:

Старший ребенок	Младший ребенок
~~Девочка~~	~~Девочка~~
Девочка	Мальчик
Мальчик	Девочка
Мальчик	Мальчик

Таким образом, если предположить, что при поиске мальчика учитывались оба ребенка, ответ на вопрос 2 будет следующим: 1/3. Однако, если семья была выбрана сначала и тогда было сделано случайное верное утверждение о поле одного ребенка в этой семье, независимо от того, учитывались ли оба ребенка, правильный способ расчета условной вероятности - не подсчитывать все случаи, в которых участвует ребенок этого пола. Вместо этого следует учитывать только вероятности того, что утверждение будет сделано в каждом случае.^[12] Так что если ALOB представляет собой событие, в котором указано «хотя бы один мальчик», и ВОЙТИ представляет событие, в котором указано «хотя бы одна девушка», тогда эта таблица описывает образец пространства:

Старший ребенок	Младший ребенок	П (эта семья)	P (ALOB для этой семьи)	P (ALOG для этой семьи)	П (ALOB и эта семья)	P (ALOG и это семейство)
Девочка	Девочка	1/4	0	1	0	1/4
Девочка	Мальчик	1/4	1/2	1/2	1/8	1/8
Мальчик	Девочка	1/4	1/2	1/2	1/8	1/8
Мальчик	Мальчик	1/4	1	0	1/4	0

Таким образом, если хотя бы один из них мальчик, когда факт выбран случайным образом, вероятность того, что оба мальчика, равна

{ displaystyle mathrm { frac {P (ALOB ; и ; BB)} {P (ALOB)}} = { frac { frac {1} {4}} {0 + { frac {1} {8}} + { frac {1} {8}} + { frac {1} {4}}}} = { frac {1} {2}} ,.}

Парадокс возникает, когда неизвестно, как было создано утверждение «по крайней мере, один - мальчик». Любой ответ может быть правильным, исходя из предположений.^[13]

Тем не менее "1/3"ответ получается только при условии, что P (ALOB | BG) = P (ALOB | GB) = 1, что означает P (ALOG | BG) = P (ALOG | GB) = 0, то есть пол другого ребенка никогда не Однако, как говорят Маркс и Смит, «это крайнее предположение никогда не включается в представление проблемы двух детей, и уж точно не то, что люди имеют в виду, когда представляют ее».^[13]

Моделирование генеративного процесса

Другой способ проанализировать неоднозначность (для вопроса 2) - сделать явным порождающий процесс (все розыгрыши независимы).

Следующий процесс приводит к ответу ${ Displaystyle p (c_ {1} = c_ {2} = B | mathrm {Наблюдение}) = { frac {1} {3}}}$ ${ Displaystyle p (c_ {1} = c_ {2} = B | mathrm {Наблюдение}) = { frac {1} {3}}}$ :
- Рисовать ${ displaystyle c_ {1}}$ равновероятно из ${ displaystyle {B, G }}$
- Рисовать ${ displaystyle c_ {2}}$ равновероятно из ${ displaystyle {B, G }}$
- Наблюдать ${ displaystyle c_ {1} = B vee c_ {2} = B}$
Следующий процесс приводит к ответу ${ Displaystyle p (c_ {1} = c_ {2} = B | mathrm {Наблюдение}) = { frac {1} {2}}}$ ${ Displaystyle p (c_ {1} = c_ {2} = B | mathrm {Наблюдение}) = { frac {1} {2}}}$ :
- Рисовать ${ displaystyle c_ {1}}$ равновероятно из ${ displaystyle {B, G }}$
- Рисовать ${ displaystyle c_ {2}}$ равновероятно из ${ displaystyle {B, G }}$
- Индекс рисования ${ displaystyle i}$ равновероятно из ${ displaystyle {1,2 }}$
- Наблюдать ${ displaystyle c_ {i} = B}$

Байесовский анализ

Следуя классическим вероятностным аргументам, рассмотрим большую урну, в которой находятся двое детей. Мы предполагаем равную вероятность того, что это мальчик или девочка. Таким образом, можно выделить три очевидных случая: 1. обе девочки (GG) - с вероятностью P (GG) = 1/4, 2. оба мальчики (BB) - с вероятностью P (BB) = 1/4, и 3. по одному каждого (G · B) - с вероятностью P (G · B) = 1/2. Эти прежний вероятности.

Теперь мы добавляем дополнительное предположение, что «хотя бы один мальчик» = B. Использование Теорема Байеса, мы нашли

{ Displaystyle mathrm {P (BB mid B)} = mathrm {P (B mid BB) times { frac {P (BB)} {P (B)}}} = 1 times { frac { left ({ frac {1} {4}} right)} { left ({ frac {3} {4}} right)}} = { frac {1} {3}} ,.}

где P (A | B) означает «вероятность A для данного B». P (B | BB) = вероятность того, что хотя бы один мальчик будут мальчиками = 1, P (BB) = вероятность того, что оба мальчика = 1/4 из предыдущего распределения. P (B) = вероятность того, что хотя бы один из них будет мальчиком, включая случаи BB и G · B = 1/4 + 1/2 = 3/4.

Обратите внимание, что, хотя естественное предположение кажется вероятностью 1/2, поэтому производное значение 1/3 кажется низким, фактическое "нормальное" значение P (BB) составляет 1/4, Итак 1/3 на самом деле немного выше.

Парадокс возникает из-за того, что второе предположение несколько искусственно, и при описании проблемы в реальных условиях все становится немного липким. Но как мы узнаем, что «по крайней мере» один мальчик? В одном описании проблемы говорится, что мы смотрим в окно и видим только одного ребенка, и это мальчик. Это похоже на то же предположение. Однако это эквивалентно «выборке» распределения (то есть удаление одного ребенка из урны, определение того, что это мальчик, а затем замена). Назовем высказывание «образец - мальчик» суждением «б». Теперь у нас есть:

{ Displaystyle mathrm {P (BB mid b)} = mathrm {P (b mid BB) times { frac {P (BB)} {P (b)}}} = 1 times { frac { left ({ frac {1} {4}} right)} { left ({ frac {1} {2}} right)}} = { frac {1} {2}} ,.}

Разница здесь в P (b), который представляет собой просто вероятность нарисовать мальчика из всех возможных случаев (то есть без «по крайней мере»), что явно 1/2.

Байесовский анализ легко обобщается на случай, когда мы ослабляем предположение о численности населения 50:50. Если у нас нет информации о популяциях, мы предполагаем «плоскую априорность», то есть P (GG) = P (BB) = P (G · B) = 1/3. В этом случае предположение «по крайней мере» дает результат P (BB | B) = 1/2, и предположение о выборке дает P (BB | b) = 2/3, результат также можно получить из Правило преемственности.

Мартингейл анализ

Предположим, кто-то поспорил, что у мистера Смита двое мальчиков, и получил хорошие шансы. Один платит 1 доллар, и они получат 4 доллара, если у него будет два мальчика. Их ставка будет расти по мере поступления хороших новостей. Какие доказательства сделают их более счастливыми в отношении своих инвестиций? Узнав, что хотя бы один ребенок из двух - мальчик, или узнал, что хотя бы один ребенок из одного - мальчик?

Последний априори менее вероятно, и поэтому новости лучше. Вот почему два ответа не могут быть одинаковыми.

Теперь о цифрах. Если мы сделаем ставку на одного ребенка и выиграем, ценность их инвестиций удвоится. Чтобы получить 4 доллара, он должен снова удвоиться, так что шансы - 1 из 2.

С другой стороны, если кто-то узнает, что хотя бы один из двух детей - мальчик, инвестиции увеличиваются, как если бы они сделали ставку на этот вопрос. Наш $ 1 теперь стоит $1+1/3. Чтобы получить 4 доллара, нам еще нужно увеличить свое богатство втрое. Итак, ответ - 1 из 3.

Варианты вопроса

После популяризации парадокса Гарднером он был представлен и обсужден в различных формах. Первый вариант, представленный Bar-Hillel & Falk^[4] формулируется следующим образом:

Мистер Смит - отец двоих детей. Мы встречаем его гуляющим по улице с маленьким мальчиком, которого он с гордостью представляет как своего сына. Какова вероятность того, что второй ребенок мистера Смита тоже мальчик?

Бар-Хиллель и Фальк используют этот вариант, чтобы подчеркнуть важность учета основных допущений. Интуитивно понятный ответ: 1/2 и, делая самые естественные предположения, это правильно. Однако кто-то может возразить, что «… до того, как г-н Смит идентифицирует мальчика как своего сына, мы знаем только то, что он является отцом либо двух мальчиков, BB, либо двух девочек, GG, либо по одному от каждого в любом порядке рождения. , то есть BG или GB. Предполагая снова независимость и равновероятность, мы начинаем с вероятности 1/4 что Смит - отец двух мальчиков. Обнаружение того, что у него есть хотя бы один мальчик, исключает событие GG. Поскольку остальные три события были равновероятными, получаем вероятность 1/3 для BB ".^[4]

Естественное предположение состоит в том, что мистер Смит выбрал ребенка-компаньона наугад. Если это так, так как комбинация BB имеет в два раза большую вероятность того, что BG или GB привела к появлению мальчика-компаньона (а комбинация GG имеет нулевую вероятность, что исключает ее), объединение событий BG и GB становится равновероятным с событием BB, и так что шанс, что другой ребенок тоже мальчик, 1/2. Однако Бар-Гилель и Фальк предлагают альтернативный сценарий. Они представляют себе культуру, в которой мальчиков неизменно выбирают в качестве компаньонов, а не девочек. В этом случае предполагаются комбинации BB, BG и GB. на равных вероятно, привело к появлению мальчика-компаньона по ходьбе, и, таким образом, вероятность того, что другой ребенок также является мальчиком, 1/3.

В 1991 г. Мэрилин Вос Савант - ответила читательница, попросившая ее ответить на вариант парадокса «Мальчик или девочка», который включал гончих.^[6] В 1996 году она снова опубликовала вопрос в другой форме. Вопросы 1991 и 1996 годов, соответственно, были сформулированы так:

Владелец магазина говорит, что у нее есть два новых детеныша гончих, чтобы показать вам, но она не знает, самец они, самка или пара. Вы говорите ей, что хотите только мужчину, и она звонит тому парню, который купает их. "По крайней мере, один мужчина?" - спрашивает она его. "Да!" она сообщает вам с улыбкой. Какова вероятность того, что второй мужчина?
Предположим, что у женщины и мужчины (не состоящих в родстве) по двое детей. Мы знаем, что по крайней мере один из детей женщины - мальчик, а старший ребенок мужчины - мальчик. Можете ли вы объяснить, почему шансы на то, что у женщины два мальчика, не равны шансам на то, что у мужчины двое мальчиков?

Что касается второй формулировки, Вос Савант дал классический ответ: шансы, что у женщины будет два мальчика, примерно 1/3 тогда как шансы, что у мужчины двое мальчиков, примерно 1/2. В ответ на ответ читателя, который подверг сомнению ее анализ, vos Savant провел опрос читателей, имеющих ровно двух детей, по крайней мере, один из которых - мальчик. Из 17 946 ответов 35,9% сообщили о двух мальчиках.^[11]

Статьи Вос Саванта обсуждали Карлтон и Стэнсфилд.^[11] в статье 2005 г. Американский статистик. Авторы не обсуждают возможную двусмысленность вопроса и приходят к выводу, что ее ответ верен с математической точки зрения, учитывая предположения, что вероятность того, что ребенок будет мальчиком или девочкой, одинакова, и что пол второго ребенка не зависит. из первых. Что касается ее опроса, они говорят, что он «по крайней мере подтверждает правильное утверждение Вос Савант о том, что« шансы », поставленные в исходном вопросе, хотя и звучат одинаково, но различны, и что первая вероятность определенно ближе к 1 из 3, чем к 1 через 2. "

Карлтон и Стэнсфилд продолжают обсуждать общие допущения парадокса мальчика и девочки. Они демонстрируют, что в действительности дети мужского пола на самом деле более вероятны, чем дети женского пола, и что пол второго ребенка не зависит от пола первого. Авторы приходят к выводу, что, хотя предположения вопроса противоречат наблюдениям, парадокс все же имеет педагогическое значение, поскольку он «иллюстрирует одно из наиболее интригующих приложений условной вероятности».^[11] Конечно, фактические значения вероятности не имеют значения; цель парадокса - продемонстрировать кажущуюся противоречивой логику, а не фактическую рождаемость.

Информация о ребенке

Предположим, нам сказали не только, что у мистера Смита двое детей, и один из них - мальчик, но и что мальчик родился во вторник: меняет ли это предыдущий анализ? Опять же, ответ зависит от того, как эта информация была представлена - какой процесс отбора позволил получить эти знания.

Следуя традиции задачи, предположим, что в популяции семей с двумя детьми пол двух детей не зависит друг от друга, с равной вероятностью мальчик или девочка, и что дата рождения каждого ребенка не зависит от другого ребенка. . Шанс родиться в любой день недели равен 1/7.

Из теоремы Байеса о том, что вероятность рождения двух мальчиков, учитывая, что один мальчик родился во вторник, определяется как:

{ Displaystyle mathrm {P (BB mid B_ {T}) = { frac {P (B_ {T} mid BB) times P (BB)} {P (B_ {T})}}}}

Предположим, что вероятность родиться во вторник равна ε = 1/7 который будет установлен после получения общего решения. Второй множитель в числителе просто 1/4, вероятность иметь двух мальчиков. Первый член числителя - это вероятность того, что во вторник родится хотя бы один мальчик, при условии, что в семье два мальчика, или 1 − (1 − ε)² (один минус вероятность того, что ни один из мальчиков не родится во вторник). Для знаменателя разложим: ${ Displaystyle mathrm {P (B_ {T}) = P (B_ {T} mid BB) P (BB) + P (B_ {T} mid BG) P (BG) + P (B_ {T} mid GB) P (GB) + P (B_ {T} mid GG) P (GG)}}$ . Каждый член взвешивается с вероятностью 1/4. Первый член уже известен по предыдущему замечанию, последний член - 0 (мальчиков нет). ${ Displaystyle P (B_ {T} mid BG)}$ и ${ Displaystyle P (B_ {T} mid ГБ)}$ является ε, есть один-единственный мальчик, поэтому у него ε шанс родиться во вторник. Следовательно, полное уравнение:

{ Displaystyle mathrm {P (BB mid B_ {T})} = { frac { left (1- (1- varepsilon) ^ {2} right) times { frac {1} {4 }}} {0 + { frac {1} {4}} varepsilon + { frac {1} {4}} varepsilon + { frac {1} {4}} left ( varepsilon + varepsilon - varepsilon ^ {2} right)}} = { frac {1- (1- varepsilon) ^ {2}} {4 varepsilon - varepsilon ^ {2}}}}

За

{ displaystyle varepsilon> 0}

, это сводится к

{ Displaystyle mathrm {P (BB mid B_ {T})} = { frac {2- varepsilon} {4- varepsilon}}}

Если ε теперь установлено на 1/7вероятность становится 13/27, или около 0,48. Фактически, как ε стремится к 0, полная вероятность равна 1/2, который является ожидаемым ответом, когда отбирается один ребенок (например, старший ребенок - мальчик) и, таким образом, удаляется из пула возможных детей. Другими словами, по мере того как появляется все больше и больше подробностей о мальчике (например, родился 1 января), вероятность того, что другой ребенок - девочка, приближается к половине.

Кажется, что была представлена совершенно не относящаяся к делу информация, однако вероятность пола другого ребенка резко изменилась по сравнению с тем, что было раньше (вероятность того, что другим ребенком была девочка, была 2/3, когда не было известно, что мальчик родился во вторник).

Чтобы понять, почему это так, представьте, что в ходе опроса читателей Мэрилин вос Савант спросили, в какой день недели в семье рождаются мальчики. Если Мэрилин затем разделит весь набор данных на семь групп - по одной на каждый день недели, когда родился сын, - шесть из семи семей с двумя мальчиками будут учтены в двух группах (группа для дня недели рождения мальчика. 1 и группа дня недели рождения для мальчика 2), удваивая в каждой группе вероятность комбинации мальчик-мальчик.

Однако действительно ли возможно, что семья, в которой хотя бы один мальчик родился во вторник, образовалась путем случайного выбора только одной из таких семей? Намного проще представить следующий сценарий.

Мы знаем, что у мистера Смита двое детей. Мы стучимся в его дверь, и приходит мальчик и открывает дверь. Спрашиваем мальчика, в какой день недели он родился.

Предположим, что кто из двух детей откроет дверь, определено случайно. Тогда процедура была (1) выбираем случайным образом двухдетную семью из всех двудетных семей (2) случайным образом выберите одного из двух детей, (3) посмотрите, мальчик ли это, и спросите, в какой день он родился. Вероятность того, что другим ребенком будет девочка, 1/2. Это очень отличается от процедуры (1) случайный выбор семьи с двумя детьми из всех семей с двумя детьми, по крайней мере, один мальчик, родившийся во вторник. Вероятность того, что семья состоит из мальчика и девочки, 14/27, около 0,52.

Этот вариант проблемы мальчика и девочки обсуждается во многих интернет-блогах и является темой статьи Румы Фальк.^[14] Мораль этой истории заключается в том, что эти вероятности зависят не только от известной информации, но и от того, как эта информация была получена.

Психологическое расследование

С позиции статистического анализа соответствующий вопрос часто бывает двусмысленным, и поэтому на него нет «правильного» ответа. Однако этим не исчерпывается парадокс мальчика или девочки, поскольку не обязательно двусмысленность объясняет, как выводится интуитивная вероятность. Опрос, подобный опросу vos Savant's, предполагает, что большинство людей понимают проблему Гарднера, и если бы они были последовательны, они бы пришли к 1/3 вероятностный ответ, но в подавляющем большинстве люди интуитивно приходят к 1/2 вероятностный ответ. Несмотря на двусмысленность, это делает проблему интересной для исследователей-психологов, которые стремятся понять, как люди оценивают вероятность.

Fox и Levav (2004) использовали проблему (названную Проблема мистера Смита, зачисленный на счет Гарднера, но не в точности такой же, как версия Гарднера) для проверки теорий того, как люди оценивают условные вероятности.^[2] В этом исследовании парадокс был представлен участникам двумя способами:

«Мистер Смит говорит:« У меня двое детей, и по крайней мере один из них - мальчик ». Учитывая эту информацию, какова вероятность того, что второй ребенок - мальчик? "
«Мистер Смит говорит:« У меня двое детей, и это не тот случай, чтобы они оба были девочками ». Учитывая эту информацию, какова вероятность того, что оба ребенка - мальчики? "

Авторы утверждают, что первая формулировка дает читателю ошибочное впечатление, что есть два возможных исхода для «другого ребенка»:^[2] в то время как вторая формулировка дает читателю впечатление, что существует четыре возможных исхода, из которых один был отклонен (в результате 1/3 вероятность того, что оба ребенка будут мальчиками, поскольку остается 3 возможных исхода, только один из которых - оба ребенка - мальчики). Исследование показало, что 85% участников ответили 1/2 для первого состава, в то время как только 39% ответили на второй состав. Авторы утверждали, что причина, по которой люди по-разному отвечают на каждый вопрос (наряду с другими схожими проблемами, такими как Проблема Монти Холла и Парадокс коробки Бертрана ) из-за использования наивного эвристика которые не могут правильно определить количество возможных результатов.^[2]

Смотрите также

внешняя ссылка

[gardner1954-1] Мартин Гарднер (1961). Вторая книга журнала Scientific American по математическим головоломкам и решениям. Саймон и Шустер. ISBN 978-0-226-28253-4.

[fox-2] а ^б ^c ^d ^е ^ж ^грамм ^час Крейг Р. Фокс и Джонатан Левав (2004). «Раздел – Правка – Счет: наивное экстенсиональное рассуждение при оценке условной вероятности» (PDF). Журнал экспериментальной психологии. 133 (4): 626–642. Дои:10.1037/0096-3445.133.4.626. PMID 15584810.

[gardner1961-3] Мартин Гарднер (1961). Вторая книга журнала Scientific American по математическим головоломкам и решениям. Саймон и Шустер. ISBN 978-0-226-28253-4.

[Bar-Hillel_and_Falk-4] а ^б ^c ^d ^е Бар-Гилель, Майя; Фальк, Рума (1982). «Несколько тизеров по поводу условных вероятностей». Познание. 11 (2): 109–122. Дои:10.1016 / 0010-0277 (82) 90021-X. PMID 7198956.

[nickerson-5] а ^б ^c Раймонд С. Никерсон (Май 2004 г.). Познание и шанс: психология вероятностного рассуждения. Психология Пресса. ISBN 0-8058-4899-1.

[marilyn-6] а ^б «Спросите Мэрилин». Журнал "Парад".13 октября 1991 г. [5 января 1992 г .; 26 мая 1996 г .; 1 декабря 1996 г .; 30 марта 1997 г .; 27 июля 1997 г .; 19 октября 1997 г.]. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)

[tierney-7] Тирни, Джон (2008-04-10). "Психология сосания". Нью-Йорк Таймс. Получено 24 февраля 2009.

[drunkard-8] а ^б Леонард Млодинов (2008). Прогулка пьяницы: как случайность правит нашей жизнью. Пантеон. ISBN 0-375-42404-0.

[oza-9] Никундж К. Оза (1993). «О путанице в некоторых популярных вероятностных задачах». CiteSeerX 10.1.1.44.2448. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)

[pjlaird-10] П.Дж. Лэрд; и другие. (1999). «Наивная вероятность: ментальная модель теории экстенсионального рассуждения». Психологический обзор. 106: 62–88. Дои:10.1037 / 0033-295x.106.1.62.

[carlton-11] а ^б ^c ^d ^е Мэтью А. Карлтон и Уильям Д. Стэнсфилд (2005). «Изготовление младенцев при помощи монеты?». Американский статистик. 59: 180–182. Дои:10.1198 / 000313005x42813.

[Grinstead_and_Snell-12] а ^б Чарльз М. Гринстед и Дж. Лори Снелл. «Введение в вероятность Гринстеда и Снелла» (PDF). Проект ШАНС.

[Marks_and_Smith-13] а ^б Стивен Маркс и Гэри Смит (зима 2011 г.). "Возрождение парадокса двух детей?" (PDF). Шанс (журнал Американской статистической ассоциации). 24: 54–9. Дои:10.1007 / s00144-011-0010-0.

[14] Фальк Рума (2011). «Когда расходятся трюизмы: как справиться с нелогичной проблемой, касающейся печально известной семьи с двумя детьми». Мышление и рассуждение. 17: 353–366. Дои:10.1080/13546783.2011.613690.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]