Теорема Брауэра – Зигеля - Brauer–Siegel theorem

В математика, то Теорема Брауэра – Зигеля, названный в честь Ричард Брауэр и Карл Людвиг Сигель, является асимптотическим результатом о поведении поля алгебраических чисел, полученный Ричард Брауэр и Карл Людвиг Сигель. В нем делается попытка обобщить результаты, известные на номера классов из мнимые квадратичные поля, к более общей последовательности числовых полей

${displaystyle K_{1},K_{2},ldots . }$

Во всех случаях, кроме рационального поля Q и мнимые квадратичные поля, регулятор р_я из K_я необходимо учитывать, потому что K_я то есть единицы бесконечного порядка по Теорема Дирихле о единицах. Количественная гипотеза стандартной теоремы Брауэра – Зигеля состоит в том, что если D_я это дискриминант из K_я, тогда

${displaystyle {frac {[K_{i}:mathbf {Q} ]}{log |D_{i}|}} o 0{ ext{ as }}i o infty .}$

Предполагая это и алгебраическую гипотезу, что K_я это Расширение Галуа из Q, вывод такой

${displaystyle {frac {log(h_{i}R_{i})}{log {sqrt {|D_{i}|}}}} o 1{ ext{ as }}i o infty }$

где час_я это номер класса K_я. Если предположить, что все степени ${displaystyle [K_{i}:mathbf {Q} ]}$ ограничены сверху равномерной постояннойN, то можно отказаться от предположения о нормальности - это то, что фактически доказано в статье Брауэра.

Этот результат неэффективный, как и результат на квадратичных полях, на которых он строился. Эффективные результаты в этом же направлении были положены в работе Гарольд Старк с начала 1970-х гг.

использованная литература

• Ричард Брауэр, О дзета-функции полей алгебраических чисел, Американский журнал математики 69 (1947), 243–250.