Неравенство Брезиса – Галлуэ - Brezis–Gallouet inequality

В математический анализ, то Неравенство Брезиса – Галлуэ,^[1] названный в честь Хаим Брезис и Тьерри Галлуэ - неравенство, действующее в двух пространственных измерениях. Он показывает, что функция двух переменных, которая является достаточно гладкой, является (по существу) ограниченной, и дает явную оценку, которая только логарифмически зависит от вторых производных. Это полезно при изучении уравнения в частных производных.

Позволять ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2}}$ - внешность или внутренность ограниченной области с регулярной границей, или ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ сам. Тогда неравенство Брезиса – Галлуэ утверждает, что существует действительное ${\displaystyle C}$ только в зависимости от ${\displaystyle \Omega }$ такое, что для всех ${\displaystyle u\in H^{2}(\Omega )}$ что не а. е. равно 0,

${\displaystyle \displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{H^{1}(\Omega )}\left(1+{\Bigl (}\log {\bigl (}1+{\frac {\|u\|_{H^{2}(\Omega )}}{\|u\|_{H^{1}(\Omega )}}}{\bigr )}{\Bigr )}^{1/2}\right).}$

Доказательство —

Гипотеза регулярности ${\displaystyle \Omega }$ определено таким образом, что существует оператор расширения ${\displaystyle P~:~H^{2}(\Omega )\to H^{2}(\mathbb {R} ^{2})}$ такой, что:

• ${\displaystyle P}$ является ограниченным оператором из ${\displaystyle H^{1}(\Omega )}$ к ${\displaystyle H^{1}(\mathbb {R} ^{2})}$;

• ${\displaystyle P}$ является ограниченным оператором из ${\displaystyle H^{2}(\Omega )}$ к ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {R} ^{2})}$;

• ограничение на ${\displaystyle \Omega }$ из ${\displaystyle Pu}$ равно ${\displaystyle u}$ для всех ${\displaystyle u\in H^{2}(\Omega )}$.

Позволять ${\displaystyle u\in H^{2}(\Omega )}$ быть таким, чтобы ${\displaystyle \|u\|_{H^{1}(\Omega )}=1}$. Затем, обозначая ${\displaystyle {\widehat {v}}}$ функция, полученная из ${\displaystyle v=Pu}$ преобразованием Фурье получаем существование ${\displaystyle C>0}$ только в зависимости от ${\displaystyle \Omega }$ такой, что:

• ${\displaystyle \|(1+|\xi |){\widehat {v}}\|_{L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}\leq C}$,

• ${\displaystyle \|(1+|\xi |^{2}){\widehat {v}}\|_{L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}\leq C\|u\|_{H^{2}(\Omega )}}$,

• ${\displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq \|v\|_{L^{\infty }(\mathbb {R} ^{2})}\leq C\|{\widehat {v}}\|_{L^{1}(\mathbb {R} ^{2})}}$.

Для любого ${\displaystyle R>0}$, пишут:

${\displaystyle {\begin{aligned}\displaystyle \|{\widehat {v}}\|_{L^{1}(\mathbb {R} ^{2})}&=\int _{|\xi |<R}|{\widehat {v}}(\xi )|{\rm {d}}\xi +\int _{|\xi |>R}|{\widehat {v}}(\xi )|{\rm {d}}\xi \\&=\int _{|\xi |<R}(1+|\xi |)|{\widehat {v}}(\xi )|{\frac {1}{1+|\xi |}}{\rm {d}}\xi +\int _{|\xi |>R}(1+|\xi |^{2})|{\widehat {v}}(\xi )|{\frac {1}{1+|\xi |^{2}}}{\rm {d}}\xi \\&\leq C\left(\int _{|\xi |<R}{\frac {1}{(1+|\xi |)^{2}}}{\rm {d}}\xi \right)^{\frac {1}{2}}+C\|u\|_{H^{2}(\Omega )}\left(\int _{|\xi |>R}{\frac {1}{(1+|\xi |^{2})^{2}}}{\rm {d}}\xi \right)^{\frac {1}{2}},\end{aligned}}}$

в силу предыдущих неравенств и неравенства Коши-Шварца. Это дает

${\displaystyle \|{\widehat {v}}\|_{L^{1}(\mathbb {R} ^{2})}\leq C(\log(1+R))^{\frac {1}{2}}+C{\frac {\|u\|_{H^{2}(\Omega )}}{1+R}}.}$

Затем неравенство доказывается в случае ${\displaystyle \|u\|_{H^{1}(\Omega )}=1}$, позволяя ${\displaystyle R=\|u\|_{H^{2}(\Omega )}}$. Для общего случая ${\displaystyle u\in H^{2}(\Omega )}$ не тождественно нуль, достаточно применить это неравенство к функции ${\displaystyle u/\|u\|_{H^{1}(\Omega )}}$.

Заметив это, для любого ${\displaystyle v\in H^{2}(\mathbb {R} ^{2})}$, там держит

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{2}}{\bigl (}(\partial _{11}^{2}v)^{2}+2(\partial _{12}^{2}v)^{2}+(\partial _{22}^{2}v)^{2}{\bigr )}=\int _{\mathbb {R} ^{2}}{\bigl (}\partial _{11}^{2}v+\partial _{22}^{2}v{\bigr )}^{2},}$

из неравенства Брезиса-Галуэ следует, что существует ${\displaystyle C>0}$ только в зависимости от ${\displaystyle \Omega }$ такое, что для всех ${\displaystyle u\in H^{2}(\Omega )}$ что не а. е. равно 0,

${\displaystyle \displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{H^{1}(\Omega )}\left(1+{\Bigl (}\log {\bigl (}1+{\frac {\|\Delta u\|_{L^{2}(\Omega )}}{\|u\|_{H^{1}(\Omega )}}}{\bigr )}{\Bigr )}^{1/2}\right).}$

Предыдущее неравенство близко к тому, как цитируется неравенство Брезиса-Галлуэ.^[2]

Смотрите также

• Ладыженская неравенство
• Неравенство Агмона

Рекомендации

1. Х. Брезис и Т. Галлуэ. Нелинейные эволюционные уравнения Шредингера. Нелинейный анал. 4 (1980), нет. 4, 677–681. Дои:10.1016 / 0362-546X (80) 90068-1
2. Фойас, Киприан; Manley, O .; Rosa, R .; Темам, Р. (2001). Уравнения Навье – Стокса и турбулентность.. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-36032-3.