Лапша Buffons - Buffons noodle - Wikipedia

В геометрическая вероятность, проблема Лапша Буффона является вариацией известной проблемы Игла Буффона, названный в честь Жорж-Луи Леклерк, граф де Бюффон жившие в 18 веке. Такой подход к проблеме опубликовал Жозеф-Эмиль Барбье в 1860 г.^[1]

Игла Буффона

Основная статья: Игла Буффона

Предположим, существует бесконечно много равноудаленных параллельных линий, и мы должны случайным образом подбросить иголку, длина которой меньше или равна расстоянию между соседними линиями. Какова вероятность того, что игла при приземлении окажется поперек линии?

Чтобы решить эту проблему, пусть ${\displaystyle l}$ быть длиной иглы и ${\displaystyle D}$ расстояние между двумя соседними линиями. Тогда пусть ${\displaystyle \theta }$ - острый угол между иглой и горизонталью, и пусть ${\displaystyle x}$ расстояние от центра иглы до ближайшей линии.

Игла проходит через ближайшую линию тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x\leq {\frac {l\cos \theta }{2}}}$. Мы видим это условие в прямоугольном треугольнике, образованном иглой, ближайшей линией и линией длины ${\displaystyle x}$ когда игла пересекает ближайшую линию.

Предположим теперь, что значения ${\displaystyle x,\theta }$ находятся случайно определенный когда они приземляются, где ${\displaystyle 0<x<{\frac {D}{2}}}$, поскольку ${\displaystyle 0<l<D}$, и ${\displaystyle 0<\theta <{\frac {\pi }{2}}}$. В пространство образца за ${\displaystyle x,\theta }$ таким образом, прямоугольник со сторонами ${\displaystyle {\frac {D}{2}}}$ и ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$.

В вероятность из мероприятие то, что стрелка проходит через ближайшую линию, - это часть пространства образца, которая пересекается с ${\displaystyle x\leq {\frac {l}{2}}\cos \theta }$. С ${\displaystyle 0<l<D}$, площадь этого пересечения определяется выражением

${\displaystyle {\text{Area (event)}}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {l}{2}}\cos \theta d\theta ={\frac {l}{2}}\sin {\frac {\pi }{2}}-{\frac {l}{2}}\sin 0={\frac {l}{2}}}$.

Теперь площадь пробного пространства равна

${\displaystyle {\text{Area (sample space)}}={\frac {D}{2}}\times {\frac {\pi }{2}}={\frac {D\pi }{4}}}$.

Следовательно, вероятность ${\displaystyle P}$ мероприятия

${\displaystyle P={\frac {\text{Area (event)}}{\text{Area (sample space)}}}={\frac {l}{2}}{\frac {4}{D\pi }}={\frac {2l}{\pi D}}}$.^[2]

Сгибание иглы

В формуле интересно то, что она остается неизменной, даже когда вы сгибаете иглу любым желаемым образом (при условии, что она должна лежать в плоскости), что делает ее «лапшой» - жесткой плоская кривая. Мы отказываемся от предположения, что длина лапши не больше расстояния между параллельными линиями.

В распределение вероятностей количества пересечений зависит от формы лапши, но ожидаемое число переходов нет; это зависит только от длины L лапши и расстояния D между параллельными линиями (обратите внимание, что изогнутая лапша может пересекать одну линию несколько раз).

Этот факт можно доказать следующим образом (см. Клейн и Рота). Сначала предположим, что лапша кусочно-линейный, т.е. состоит из п прямые части. Позволять Икс_я быть количеством раз я-я фигура пересекает одну из параллельных линий. Эти случайные величины не независимый, но ожидания по-прежнему складываются из-за линейность ожидания:

${\displaystyle E(X_{1}+\cdots +X_{n})=E(X_{1})+\cdots +E(X_{n}).}$

Рассматривая изогнутую лапшу как предел последовательности кусочно-линейной лапши, мы заключаем, что ожидаемое количество пересечений за один бросок пропорционально длине; это постоянная величина, умноженная на длину L. Тогда проблема в том, чтобы найти константу. Если лапша представляет собой круг диаметром, равным расстоянию D между параллельными линиями, затем L = πD а количество пересечений равно 2 с вероятностью 1. Итак, когда L = πD тогда ожидаемое количество переходов равно 2. Следовательно, ожидаемое количество переходов должно быть 2L/ (πD).

Есть еще одно удивительное следствие. Если лапша какая-то закрытая кривая постоянной ширины D количество переходов также ровно 2. Отсюда следует Теорема Барбье утверждая, что периметр такой же, как у круга.

Рекомендации

1. Барбье, Э. (1860 г.), "Note sur le problème de l'aiguille et le jeu du Joint Couvert" (PDF), Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 2^е série (на французском языке), 5: 273–286
2. Чарльз М. Гринстед; Дж. Лори Снелл, "Глава 2. Непрерывные плотности вероятностей", Введение в вероятность (PDF), Американское математическое общество, стр. 44–46, ISBN  978-0-821-80749-1

• Рамали, Дж. Ф. (1969). "Проблема лапши Буффона" (PDF). Американский математический ежемесячник. Математическая ассоциация Америки. 76 (8 октября 1969 г.): 916–918. Дои:10.2307/2317945. ISSN  0002-9890. JSTOR  2317945.
• Дэниел А. Клейн; Джан-Карло Рота (1997). Введение в геометрическую вероятность. Издательство Кембриджского университета. п.1. ISBN  978-0-521-59654-1.

внешняя ссылка

• Интерактивная математическая страница в Разрезать узел интернет сайт
• Интерактивная демонстрация Wolfram CDF