Теорема Карно (перпендикуляры) - Carnots theorem (perpendiculars) - Wikipedia

Теорема Карно для перпендикуляров на сторонах треугольника:
синяя область = красная область

Теорема Карно (названный в честь Лазар Карно ) описывает необходимое и достаточное условие для общей точки пересечения трех прямых, перпендикулярных (вытянутым) сторонам треугольника. Эту теорему также можно рассматривать как обобщение теорема Пифагора

Теорема

Для треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ с боков ${\displaystyle a,b,c}$ рассмотрим три прямые, которые перпендикулярны сторонам треугольника и пересекаются в общей точке ${\displaystyle F}$. Если ${\displaystyle P_{a},P_{b},P_{c}}$ точки педалей этих трех перпендикуляров по бокам ${\displaystyle a,b,c}$, то имеет место следующее уравнение:

${\displaystyle |AP_{c}|^{2}+|BP_{a}|^{2}+|CP_{b}|^{2}=|BP_{c}|^{2}+|CP_{a}|^{2}+|AP_{b}|^{2}}$

Обратное утверждение выше также верно, то есть, если уравнение верно для точек педалей трех перпендикуляров на трех сторонах треугольника, то они пересекаются в общей точке. Следовательно, уравнение обеспечивает необходимое и достаточное условие.

Особые случаи

Если треугольник ${\displaystyle \triangle ABC}$ имеет прямой угол в ${\displaystyle C}$ и точка пересечения ${\displaystyle F}$ расположен либо на ${\displaystyle A}$ или же ${\displaystyle B}$, то приведенное выше уравнение дает теорему Пифагора. Например, если ${\displaystyle F}$ совпадает с ${\displaystyle A}$ тогда это дает ${\displaystyle |AP_{b}|=0}$, ${\displaystyle |AP_{c}|=0}$, ${\displaystyle |CP_{a}|=0}$, ${\displaystyle |CP_{b}|=b}$, ${\displaystyle |BP_{a}|=a}$ и ${\displaystyle |BP_{c}|=c}$. Следовательно, приведенное выше уравнение преобразуется в теорему Пифагора ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$.

Другое следствие - свойство серединных перпендикуляров треугольника пересекаться в общей точке. В случае серединного перпендикуляра у вас есть ${\displaystyle |AP_{c}|=|BP_{c}|}$, ${\displaystyle |BP_{a}|=|CP_{a}|}$ и ${\displaystyle |CP_{b}|=|AP_{b}|}$ и, следовательно, справедливо указанное выше уравнение. что означает, что все три срединных перпендикуляра пересекаются в одной точке.

Рекомендации

• Вольгемут, Мартин, изд. (2010). Mathematisch für fortgeschrittene Anfänger: Weitere Bellebte Beiträge von Matroids Matheplanet (на немецком). Гейдельберг: Spektrum Akademischer Verlag. С. 273–276. ISBN  9783827426079. OCLC  699828882.
• Альфред С. Посаментьер; Чарльз Т. Салкинд (1996). Сложные задачи геометрии. Нью-Йорк: Дувр. С. 85–86. ISBN  9780486134864. OCLC  829151719.

внешняя ссылка

• Флориан Модлер: Vergessene Sätze am Dreieck - Der Satz von Carnot at matheplanet.com (немецкий)