Лемма Чандрасекара – Вентцеля. - Chandrasekhar–Wentzel lemma

В векторное исчисление, Лемма Чандрасекара – Вентцеля. был получен Субраманян Чандрасекар и Грегор Вентцель в 1965 г. при изучении устойчивости вращающейся капли жидкости.^[1][2] Лемма утверждает, что если ${\displaystyle \mathbf {S} }$ - поверхность, ограниченная простым замкнутым контуром ${\displaystyle C}$, тогда

${\displaystyle \mathbf {L} =\oint _{C}\mathbf {x} \times (d\mathbf {x} \times \mathbf {n} )=-\int _{\mathbf {S} }(\mathbf {x} \times \mathbf {n} )\nabla \cdot \mathbf {n} \ dS.}$

Здесь ${\displaystyle \mathbf {x} }$ - вектор положения и ${\displaystyle \mathbf {n} }$ - единица нормали к поверхности. Непосредственным следствием этого является то, что если ${\displaystyle \mathbf {S} }$ является замкнутой поверхностью, то линейный интеграл стремится к нулю, что приводит к результату

${\displaystyle \int _{\mathbf {S} }(\mathbf {x} \times \mathbf {n} )\nabla \cdot \mathbf {n} \ dS=0,}$

или, в индексной записи, мы имеем

${\displaystyle \int _{\mathbf {S} }x_{j}\nabla \cdot \mathbf {n} \ dS_{k}=\int _{\mathbf {S} }x_{k}\nabla \cdot \mathbf {n} \ dS_{j}.}$

То есть тензор

${\displaystyle T_{ij}=\int _{\mathbf {S} }x_{j}\nabla \cdot \mathbf {n} \ dS_{i}}$

определенный на замкнутой поверхности всегда симметричен, т. е. ${\displaystyle T_{ij}=T_{ji}}$.

Доказательство

Запишем вектор в индексных обозначениях, но соглашение о суммировании мы будем избегать на протяжении всего доказательства. Тогда левую часть можно записать как

${\displaystyle L_{i}=\oint _{C}[dx_{i}(n_{i}x_{j}+n_{k}x_{k})+dx_{j}(-n_{i}x_{j})+dx_{k}(-n_{i}x_{k})].}$

Преобразование линейного интеграла в поверхностный интеграл с помощью Теорема Стокса, мы получили

${\displaystyle L_{i}=\int _{\mathbf {S} }\left\{n_{i}\left[{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(-n_{i}x_{k})-{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}(-n_{i}x_{j})\right]+n_{j}\left[{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}(n_{j}x_{j}+n_{k}x_{k})-{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(-n_{i}x_{k})\right]+n_{k}\left[{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(-n_{i}x_{j})-{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(n_{j}x_{j}+n_{k}x_{k})\right]\right\}\ dS.}$

Проведя необходимое дифференцирование и после некоторой перестановки, получим

${\displaystyle L_{i}=\int _{\mathbf {S} }\left[-{\frac {1}{2}}x_{k}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(n_{i}^{2}+n_{k}^{2})+{\frac {1}{2}}x_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}(n_{i}^{2}+n_{j}^{2})+n_{j}x_{k}\left({\frac {\partial n_{i}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial n_{k}}{\partial x_{k}}}\right)-n_{k}x_{j}\left({\frac {\partial n_{i}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial n_{j}}{\partial x_{j}}}\right)\right]\ dS,}$

или, другими словами,

${\displaystyle L_{i}=\int _{\mathbf {S} }\left[{\frac {1}{2}}\left(x_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}-x_{k}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right)|\mathbf {n} |^{2}-(x_{j}n_{k}-x_{k}n_{j})\nabla \cdot \mathbf {n} \right]\ dS.}$

И с тех пор ${\displaystyle |\mathbf {n} |^{2}=1}$, у нас есть

${\displaystyle L_{i}=-\int _{\mathbf {S} }(x_{j}n_{k}-x_{k}n_{j})\nabla \cdot \mathbf {n} \ dS,}$

тем самым доказывая лемму.

Рекомендации

1. Чандрасекхар, С. (1965). «Устойчивость вращающейся капли жидкости». Труды Лондонского королевского общества A: математические, физические и инженерные науки. 286 (1404): 1–26. Дои:10.1098 / rspa.1965.0127.
2. Chandrasekhar, S .; Вали, К. С. (2001). В поисках перспектив: избранные произведения С. Чандрасекара: с комментариями. World Scientific.