Сани Чаплыгина - Chaplygin sleigh - Wikipedia

В Сани Чаплыгина простой педагогический пример неголономная система в механика, описанный Сергей Чаплыгин. Он состоит из тела, которое скользит без трения по горизонтальной плоскости, с острием, ограничивающим его движение, так что нож скользит только в продольном направлении. Поскольку это ограничение неголономно, Теорема Лиувилля не применяется, и хотя энергия сохраняется, движение является диссипативным в том смысле, что фазовое пространство объем не сохраняется. Движение сводится к равновесию, в котором сани движутся без вращения, а острие лезвия следует за центром масс.

Есть несколько способов увидеть, что система неголономна. Размерность фазового пространства равна 5, что нечетно. Ограничение на скорость не выводится из ограничения на координаты.

Движение системы можно описать просто. Позволять v - скорость с положительными значениями, указывающими на то, что острие лезвия отходит. Пусть ω - угловая скорость. Оставьте лезвие ножа на единичном расстоянии от центра масс. Тогда уравнения движения имеют вид

${\displaystyle {\dot {v}}=\omega ^{2},}$

${\displaystyle {\dot {\omega }}=-bv\omega ,}$

куда б постоянная, зависящая от массы и момента инерции. Решения представляют собой эллипсы в плоскости v – ω. Уравнения движения симметричны относительно обращения времени, но асимметричны при инверсии неподвижной оси тела, совмещенной с острием ножа.

Рекомендации

ЯВЛЯЮСЬ. Блох, Неголономная механика и управление.