Уравнение Чебышева - Chebyshev equation

Уравнение Чебышева является линейным второго порядка дифференциальное уравнение

${displaystyle (1-x^{2}){d^{2}y over dx^{2}}-x{dy over dx}+p^{2}y=0}$

где p - действительная (или комплексная) постоянная. Уравнение названо в честь русский математик Пафнутый Чебышев.

Решения могут быть получены степенной ряд:

${displaystyle y=sum _{n=0}^{infty }a_{n}x^{n}}$

где коэффициенты подчиняются отношение повторения

${displaystyle a_{n+2}={(n-p)(n+p) over (n+1)(n+2)}a_{n}.}$

Ряд сходится при ${displaystyle |x|<1}$ (Примечание, Икс может быть сложным), что можно увидеть, применив тест соотношения к повторению.

Повторение может быть начато с произвольных значений a₀ и₁, приводящее к двумерному пространству решений, которое возникает из дифференциальных уравнений второго порядка. Стандартные варианты:

а₀ = 1; а₁ = 0, что приводит к решению

${displaystyle F(x)=1-{frac {p^{2}}{2!}}x^{2}+{frac {(p-2)p^{2}(p+2)}{4!}}x^{4}-{frac {(p-4)(p-2)p^{2}(p+2)(p+4)}{6!}}x^{6}+cdots }$

и

а₀ = 0; а₁ = 1, что приводит к решению

${displaystyle G(x)=x-{frac {(p-1)(p+1)}{3!}}x^{3}+{frac {(p-3)(p-1)(p+1)(p+3)}{5!}}x^{5}-cdots .}$

Общее решение - любая линейная комбинация этих двух.

Когда п является неотрицательным целым числом, у одной или другой из двух функций последовательность завершается после конечного числа членов: F завершается, если п четно, и G завершается, если п нечетная, в данном случае эта функция является полиномом степени п и он пропорционаленПолином Чебышева первого вида

${displaystyle T_{p}(x)=(-1)^{p/2} F(x),}$ если p четно

${displaystyle T_{p}(x)=(-1)^{(p-1)/2} p G(x),}$ если p нечетное

В статье использован материал из уравнения Чебышева по PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.