Теорема Чанга – Фукса - Chung–Fuchs theorem

В математика, то Теорема Чанга – Фукса, названный в честь Вольфганг Генрих Иоганнес Фукс и Чунг Кайлай, утверждает, что для частицы, испытывающей случайная прогулка в m-измерениях он наверняка будет бесконечно часто возвращаться в любую окрестность начала координат на одномерной линии (m = 1) или двумерной плоскости (m = 2), но в трехмерных пространствах и более он будет оставить до бесконечности.

В частности, если положение частицы описывается вектором ${\displaystyle X_{n}}$:

${\displaystyle X_{n}=Z_{1}+...+Z_{n}}$

куда ${\displaystyle Z_{1},Z_{2},...,Z_{n}}$ - независимые m-мерные векторы с заданным многомерным распределением,

тогда если ${\displaystyle m=1}$, ${\displaystyle E(|Z_{i}|)<\infty }$ и ${\displaystyle E(Z_{i})=0}$, или если ${\displaystyle m=2}$ ${\displaystyle E(|Z_{i}^{2}|)<\infty }$ и ${\displaystyle E(Z_{i})=0}$,

имеет место следующее:

${\displaystyle \forall \epsilon >0}$, ${\displaystyle \Pr(\forall n_{0}\geq 0,\,\exists n\geq n_{0},\,|X_{n}|<\epsilon )=1}$

Однако для ${\displaystyle m\geq 3}$,

${\displaystyle \forall A>0}$, ${\displaystyle \Pr(\exists n_{0}\geq 0,\,\forall n\geq n_{0},\,|X_{n}|\geq A)=1}$.

Рекомендации

• Кокс, Миллер (1963), Теория случайных процессов, Лондон: Chapman and Hall Ltd.
• «О распределении значений сумм случайных величин» Чунг К.Л. и Fuchs, W.H.J. Mem. Амер. Математика. Soc. 1951 г. No 6, 12 стр.