Поверхность Клебша - Clebsch surface

Кубика Клебша в местной карте

Модель поверхности

В математике Диагональная кубическая поверхность Клебша, или же Икосаэдрическая кубическая поверхность Клейна, является неособым кубическая поверхность, изученный Клебш (1871) и Кляйн (1873), всего 27 исключительные линии можно определить над действительными числами. Период, термин Икосаэдрическая поверхность Клейна может относиться либо к этой поверхности, либо к ее раздутию на 10 Очки Эккарда.

Определение

Поверхность Клебша - это множество точек (Икс₀:Икс₁:Икс₂:Икс₃:Икс₄) из п⁴ удовлетворяющие уравнениям

${displaystyle x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0,}$

${displaystyle x_{0}^{3}+x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+x_{4}^{3}=0.}$

Устранение Икс₀ показывает, что она также изоморфна поверхности

${displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+x_{4}^{3}=(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})^{3}}$

в п³.

Группа симметрии поверхности - это симметричная группа S₅ порядка 120, действуя перестановками координат (в п⁴). С точностью до изоморфизма поверхность Клебша - единственная кубическая поверхность с этой группой автоморфизмов.

Характеристики

27 исключительных строк:

• 15 изображений (ниже S₅) линии точек вида (а : −а : б : −б : 0).
• 12 изображений линии через точку (1: ζ: ζ²: ζ³: ζ⁴) и его комплексно сопряженного, где ζ - первообразный корень 5-й степени из 1.

Поверхность имеет 10 Очки Эккарда где пересекаются 3 прямые, заданные точкой (1: −1: 0: 0: 0) и ее сопряженными при перестановках. Хирцебрух (1976) показал, что поверхность, полученная путем взрыва поверхности Клебша в ее 10 точках Эккарда, является Модульная поверхность Гильберта главной конгруэнтной подгруппы уровня 2 гильбертовой модулярной группы поля Q(√5). Фактор гильбертовой модулярной группы по ее конгруэнтной подгруппе уровня 2 изоморфен знакопеременной группе порядка 60 на 5 точках.

Как и все невырожденные кубические поверхности, кубика Клебша может быть получена путем раздува проективная плоскость в 6 баллов. Кляйн (1873) описал эти моменты следующим образом. Если проективная плоскость отождествляется с набором прямых, проходящих через начало координат в трехмерном векторном пространстве, содержащем икосаэдр с центром в начале координат, то 6 точек соответствуют 6 линиям, проходящим через 12 вершин икосаэдра. Точки Эккардта соответствуют 10 линиям, проходящим через центры 20 граней.

Рекомендации

• Клебш, А. (1871), «Ueber die Anwendung der quadratischen Substitution auf die Gleichungen 5ten Grades und die geometrische Theorie des ebenen Fünfseits», Mathematische Annalen, 4 (2): 284–345, Дои:10.1007 / BF01442599
• Хирцебрух, Фридрих (1976), «Модулярная группа Гильберта для поля Q (√5) и кубическая диагональная поверхность Клебша и Клейна», Русская математика. Обзоры, 31 (5): 96–110, Дои:10.1070 / RM1976v031n05ABEH004190, ISSN  0042-1316, МИСТЕР  0498397
• Хант, Брюс (1996), Геометрия некоторых специальных арифметических частных, Конспект лекций по математике, 1637, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007 / BFb0094399, ISBN  978-3-540-61795-2, МИСТЕР  1438547
• Кляйн, Феликс (1873 г.), "Ueber Flächen dritter Ordnung", Mathematische Annalen, Springer Berlin / Heidelberg, 6 (4): 551–581, Дои:10.1007 / BF01443196

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Диагональ Клебша кубическая». MathWorld.
• Клебш Поверхность, Джон Баэз, 1 марта 2016 г., AMS Visual Insight

• Поверхность Клебша в MathCurve