Коэффициенты потенциала - Coefficients of potential

В электростатика, то коэффициенты потенциала определить отношения между плата и электростатический потенциал (электрический потенциал ), который является чисто геометрическим:

${\displaystyle {\begin{matrix}\phi _{1}=p_{11}Q_{1}+\cdots +p_{1n}Q_{n}\\\phi _{2}=p_{21}Q_{1}+\cdots +p_{2n}Q_{n}\\\vdots \\\phi _{n}=p_{n1}Q_{1}+\cdots +p_{nn}Q_{n}\end{matrix}}.}$

где Q_я это поверхностный заряд на проводнике я. Коэффициенты потенциала - это коэффициенты п_ij. φ_я следует правильно читать как потенциал на i-м проводнике, и, следовательно, "${\displaystyle p_{21}}$"- p из-за заряда 1 на проводе 2.

${\displaystyle p_{ij}={\partial \phi _{i} \over \partial Q_{j}}=\left({\partial \phi _{i} \over \partial Q_{j}}\right)_{Q_{1},...,Q_{j-1},Q_{j+1},...,Q_{n}}.}$

Обратите внимание, что:

1. п_ij = п_джи, по симметрии, и
2. п_ij не зависит от заряда,

Физическое содержание симметрии следующее:

если заряд Q на проводнике j подводит проводник i к потенциалу φ, тогда тот же заряд, помещенный на проводнике i, доводит j до того же потенциала φ.

Как правило, коэффициенты используются при описании системы проводников, например, в конденсатор.

Теория

Система проводников. Электростатический потенциал в точке P равен ${\displaystyle \phi _{P}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{S_{j}}{\frac {\sigma _{j}da_{j}}{R_{j}}}}$.

Учитывая электрический потенциал на поверхности проводника S_я (в эквипотенциальная поверхность или точка п выбранной на поверхности i), содержащейся в системе проводников j = 1, 2, ..., п:

${\displaystyle \phi _{i}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{S_{j}}{\frac {\sigma _{j}da_{j}}{R_{ji}}}{\mbox{ (i=1, 2..., n)}},}$

где р_джи = |р_я - р_j|, т.е. расстояние от элемента площади да_j к определенной точке р_я на проводнике i. σ_j в общем случае неравномерно распределяется по поверхности. Введем множитель ж_j который описывает, как фактическая плотность заряда отличается от средней и сама по себе в положении на поверхности j-й дирижер:

${\displaystyle {\frac {\sigma _{j}}{\langle \sigma _{j}\rangle }}=f_{j},}$

или

${\displaystyle \sigma _{j}=\langle \sigma _{j}\rangle f_{j}={\frac {Q_{j}}{S_{j}}}f_{j}.}$

Потом,

${\displaystyle \phi _{i}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {Q_{j}}{4\pi \epsilon _{0}S_{j}}}\int _{S_{j}}{\frac {f_{j}da_{j}}{R_{ji}}}.}$

Можно показать, что ${\displaystyle \int _{S_{j}}{\frac {f_{j}da_{j}}{R_{ji}}}}$ не зависит от распределения ${\displaystyle \sigma _{j}}$. Следовательно, с

${\displaystyle p_{ij}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}S_{j}}}\int _{S_{j}}{\frac {f_{j}da_{j}}{R_{ji}}},}$

у нас есть

${\displaystyle \phi _{i}=\sum _{j=1}^{n}p_{ij}Q_{j}{\mbox{ (i = 1, 2, ..., n)}}.}$

пример

В этом примере мы используем метод коэффициентов потенциала для определения емкости двухпроводной системы.

Для двухпроводной системы система линейных уравнений имеет вид

${\displaystyle {\begin{matrix}\phi _{1}=p_{11}Q_{1}+p_{12}Q_{2}\\\phi _{2}=p_{21}Q_{1}+p_{22}Q_{2}\end{matrix}}.}$

На конденсатор, заряд на двух проводниках равен и противоположен: Q = Q₁ = -Q₂. Следовательно,

${\displaystyle {\begin{matrix}\phi _{1}=(p_{11}-p_{12})Q\\\phi _{2}=(p_{21}-p_{22})Q\end{matrix}},}$

и

${\displaystyle \Delta \phi =\phi _{1}-\phi _{2}=(p_{11}+p_{22}-p_{12}-p_{21})Q.}$

Следовательно,

${\displaystyle C={\frac {1}{p_{11}+p_{22}-2p_{12}}}.}$

Связанные коэффициенты

Обратите внимание, что массив линейных уравнений

${\displaystyle \phi _{i}=\sum _{j=1}^{n}p_{ij}Q_{j}{\mbox{ (i = 1,2,...n)}}}$

можно инвертировать в

${\displaystyle Q_{i}=\sum _{j=1}^{n}c_{ij}\phi _{j}{\mbox{ (i = 1,2,...n)}}}$

где c_ij с i = j называются коэффициенты вместимости и c_ij с i ≠ j называются коэффициенты электростатической индукции.^[1]

Для системы из двух сферических проводников, имеющих одинаковый потенциал,^[2]

${\displaystyle Q_{a}=(c_{11}+c_{12})V,\qquad Q_{b}=(c_{12}+c_{22})V}$

${\displaystyle Q=Q_{a}+Q_{b}=(c_{11}+2c_{12}+c_{bb})V}$

Если два проводника несут одинаковые и противоположные заряды,

${\displaystyle \phi _{1}={\frac {Q(c_{12}+c_{22})}{(c_{11}c_{22}-c_{12}^{2})}},\qquad \quad \phi _{2}={\frac {-Q(c_{12}+c_{11})}{(c_{11}c_{22}-c_{12}^{2})}}}$

${\displaystyle \quad C={\frac {Q}{\phi _{1}-\phi _{2}}}={\frac {c_{11}c_{22}-c_{12}^{2}}{c_{11}+c_{22}+2c_{12}}}}$

(можно показать, что система проводников имеет аналогичную симметрию c_ij = c_джи.)

использованная литература

1. Ландау Л. Д., Лифшиц Э. М., Питаевский Л. П. Электродинамика сплошных сред (Курс теоретической физики, т. 8), 2-е изд. (Баттерворт-Хайнеманн, Оксфорд, 1984) с. 4.
2. Лекнер, Джон (01.02.2011). «Коэффициенты емкости двух сфер». Журнал электростатики. 69 (1): 11–14. Дои:10.1016 / j.elstat.2010.10.002.

• Джеймс Клерк Максвелл (1873) Трактат об электричестве и магнетизме, § 86, стр. 89.