Согласованность (философская игровая стратегия) - Coherence (philosophical gambling strategy)

В мысленный эксперимент предложенный итальянским вероятностным Бруно де Финетти чтобы оправдать Байесовская вероятность, массив ставок последовательный именно в том случае, если это не приведет к определенному ущербу для участника, независимо от результатов событий, на которые он делает ставки, даже если его противник сделает наиболее разумный выбор.

Операционные субъективные вероятности как шансы отыгрыша

Необходимо установить цену обещания заплатить 1 доллар, если Джон Смит победит на завтрашних выборах, и 0 долларов в противном случае. Каждый знает, что его оппонент сможет выбрать, либо купить такое обещание у него по установленной им цене, либо потребовать от него купить такое обещание у него, все еще по той же цене. Другими словами: Игрок А устанавливает шансы, а Игрок Б решает, какую сторону ставки принять. Устанавливаемая цена - это «операционная субъективная вероятность», которую назначают предложению, на которое он делает ставку.

Если кто-то решит, что вероятность победы Джона Смита составляет 12,5% (произвольная оценка), тогда можно установить коэффициент 7: 1 против. Эта произвольная оценка - «операционная субъективная вероятность» - определяет выигрыш от успешной ставки. 1 доллар, поставленный с такими коэффициентами, приведет либо к проигрышу в 1 доллар (если Смит проиграет), либо к выигрышу в 7 долларов (если Смит выиграет). Если 1 доллар внесен в залог в качестве условия ставки, то 1 доллар также будет возвращен игроку, сделавшему ставку, если он выиграет ставку.

Голландские книги

Говорят, что человек, который установил цены на множество ставок таким образом, что он или она получит чистую прибыль независимо от результата, сделал Голландская книга. Когда у кого-то есть голландская книга, противник всегда проигрывает. Человек, который устанавливает цены таким образом, чтобы дать своему оппоненту голландскую книгу, ведет себя нерационально. Итак, следующие аргументы в голландской книге показывают, что рациональные агенты должны обладать субъективными вероятностями, которые подчиняются общим законам вероятности.

Очень банальная голландская книга

Правила не запрещают устанавливать цену выше 1 доллара, но благоразумный противник может продать одному дорогостоящий билет, так что противник выйдет вперед независимо от исхода события, на которое сделана ставка. Правила также не запрещают отрицательную цену, но противник может получить от игрока, сделавшего ставку, обещание заплатить ему или ей позже в случае возникновения определенных непредвиденных обстоятельств. В любом случае ценообразователь проигрывает. Эти проигрышные ситуации параллельно с тем фактом, что вероятность не может ни превышать 1 (уверенность), ни быть меньше 0 (нет шансов на победу).

Несколько менее тривиальная и более поучительная голландская книга

Теперь предположим, что кто-то устанавливает цену обещания заплатить 1 доллар, если Boston Red Sox выиграет World Series в следующем году, а также цену обещания заплатить 1 доллар, если New York Yankees выиграют, и, наконец, цену обещания заплатить 1 доллар. если либо Red Sox или Янки побеждают. Можно установить цены таким образом, чтобы

{ displaystyle { text {Price}} ({ text {Red Sox}}) + { text {Price}} ({ text {Yankees}}) neq { text {Price}} ({ text {Ред Сокс или Янки}}) ,}

Но если установить цену третьего билета ниже суммы первых двух, разумный оппонент купит этот билет и продаст два других билета установщику цены. Рассматривая три возможных исхода (Red Sox, Yankees, некоторая другая команда), можно заметить, что независимо от того, какой из трех исходов закончится, один проиграет. Аналогичная судьба ждет, если один из них установит цену третьего билета выше, чем сумма двух других цен. Это соответствует тому факту, что вероятности взаимоисключающие события аддитивны (см. аксиомы вероятности ).

Условные ставки и условные вероятности

А теперь представьте более сложный сценарий. Необходимо установить цены для трех обещаний:

заплатить 1 доллар, если Red Sox выиграет завтрашнюю игру: покупатель этого обещания проиграет свою ставку, если Red Sox не выиграет, независимо от того, вызвана ли его неудача проигрышем завершенной игры или отменой игры, и
заплатить 1 доллар, если Red Sox выиграет, и вернуть обещанную цену, если игра будет отменена, и
заплатить 1 доллар, если игра завершена, независимо от того, кто победит.

Возможны три исхода: игра отменена; игра сыграна, и Red Sox проигрывают; игра сыграна, и Red Sox выигрывает. Можно установить цены таким образом, чтобы

{ displaystyle { text {Price}} ({ text {complete game}}) times { text {Price}} ({ text {Red Sox win}} mid { text {полная игра}}) neq { text {Price}} ({ text {Red Sox выиграет и завершит игру}})}

(где вторая цена выше - это цена ставки, которая включает возврат в случае отмены). (Примечание: цены здесь - это безразмерные числа, полученные путем деления на 1 доллар, который является выплатой во всех трех случаях.) Благоразумный оппонент записывает три линейных неравенства с тремя переменными. Переменные - это суммы, которые они инвестируют в каждое из трех обещаний; значение одного из них отрицательное, если они заставят установщика цены купить это обещание, и положительное, если они его купят. Каждое неравенство соответствует одному из трех возможных результатов. Каждое неравенство утверждает, что чистый выигрыш вашего оппонента больше нуля. Решение существует, если детерминант матрицы не равна нулю. Этот детерминант:

{ displaystyle { text {Price}} ({ text {complete game}}) times { text {Price}} ({ text {Red Sox win}} mid { text {полная игра}}) - { text {Price}} ({ text {Red Sox выигрывает и завершает игру}}).}

Таким образом, благоразумный оппонент может сделать установщика цен верным проигравшим, если только он не установит цены таким образом, который параллелен простейшей традиционной характеристике условная возможность.

Другой пример

В 2015 г. Кентукки Дерби, фаворит («Американский фараон») был установлен анте-пост 5: 2, второй фаворит - 3: 1 и третий - 8: 1. Все остальные лошади имели коэффициент против 12: 1 или выше. С этими коэффициентами ставка по 10 долларов на каждого из 18 участников приведет к чистому проигрышу, если выиграет либо фаворит, либо второй фаворит.

Однако, если предположить, что ни одна лошадь с соотношением 12: 1 или выше не выиграет, и он сделает ставку по 10 долларов на каждую из трех лучших, ему будет гарантирован, по крайней мере, небольшой выигрыш. Фаворит (который действительно выиграл) приведет к выплате 25 долларов плюс возвращенная ставка в 10 долларов, что даст конечный баланс в 35 долларов (чистое увеличение на 5 долларов). Победа второго фаворита принесет выплату в размере 30 долларов плюс первоначальная ставка в 10 долларов, что даст чистое увеличение на 10 долларов. Победа третьего фаворита дает 80 долларов плюс первоначальные 10 долларов, что дает чистый прирост на 60 долларов.

Такого рода стратегия, касающаяся только трех лучших, составляет голландскую книгу. Однако, если учесть все восемнадцать претендентов, то для этой гонки не существует голландской книги.