Комплексное векторное расслоение - Complex vector bundle

В математике комплексное векторное расслоение это векторный набор чьи волокна сложные векторные пространства.

Любое сложное векторное расслоение можно рассматривать как расслоение реальных векторов сквозь ограничение скаляров. И наоборот, любое вещественное векторное расслоение E можно преобразовать в сложное векторное расслоение, комплексирование

${\displaystyle E\otimes \mathbb {C} }$;

чьи волокна E_Икс ⊗_р C.

Любое комплексное векторное расслоение над паракомпактное пространство признает эрмитова метрика.

Основным инвариантом комплексного векторного расслоения является Черн класс. Комплексное векторное расслоение канонически ориентированный; в частности, можно взять Класс Эйлера.

Комплексное векторное расслоение - это голоморфное векторное расслоение если Икс является комплексным многообразием и если локальные тривиализации биголоморфны.

Сложная структура

Комплексное векторное расслоение можно рассматривать как реальное векторное расслоение с дополнительной структурой: сложная структура. По определению, сложная структура - это карта расслоения между реальным векторным расслоением E и сама:

${\displaystyle J:E\to E}$

такой, что J действует как квадратный корень я -1 на волокнах: если ${\displaystyle J_{x}:E_{x}\to E_{x}}$ карта на уровне волокна, то ${\displaystyle J_{x}^{2}=-1}$ как линейную карту. Если E комплексное векторное расслоение, то комплексная структура J можно определить, установив ${\displaystyle J_{x}}$ быть скалярным умножением на ${\displaystyle i}$. Наоборот, если E является вещественным векторным расслоением сложной структуры J, тогда E можно превратить в сложный векторный пучок, установив: для любых действительных чисел а, б и реальный вектор v в волокне E_Икс,

${\displaystyle (a+ib)v=av+J(bv).}$

Пример: Комплексная структура на касательном расслоении вещественного многообразия. M обычно называется почти сложная структура. А Теорема Ньюлендера и Ниренберга говорит, что почти сложная структура J "интегрируем" в том смысле, что он индуцирован структурой комплексного многообразия тогда и только тогда, когда некоторый тензор, содержащий J исчезает.

Связка конъюгата

Если E комплексное векторное расслоение, то сопряженный пучок ${\displaystyle {\overline {E}}}$ из E получается при наличии комплексных чисел, действующих через комплексно сопряженные числа. Таким образом, тождественная карта лежащих в основе реальных векторных расслоений: ${\displaystyle E_{\mathbb {R} }\to {\overline {E}}_{\mathbb {R} }=E_{\mathbb {R} }}$ сопряженно-линейно, и E и его сопряженный E изоморфны как вещественные векторные расслоения.

В k-го Черн класс из ${\displaystyle {\overline {E}}}$ дан кем-то

${\displaystyle c_{k}({\overline {E}})=(-1)^{k}c_{k}(E)}$.

Особенно, E и E не изоморфны, вообще говоря.

Если E имеет эрмитову метрику, то сопряженное расслоение E изоморфен двойной комплект ${\displaystyle E^{*}=\operatorname {Hom} (E,{\mathcal {O}})}$ через метрику, где мы написали ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ для тривиального комплексного линейного расслоения.

Если E является вещественным векторным расслоением, то лежащее в основе вещественное векторное расслоение комплексификации E представляет собой прямую сумму двух копий E:

${\displaystyle (E\otimes \mathbb {C} )_{\mathbb {R} }=E\oplus E}$

(поскольку V⊗_рC = V⊕я‌V для любого реального векторного пространства V.) Если комплексное векторное расслоение E является комплексификацией вещественного векторного расслоения E', тогда E' называется реальная форма из E (может быть более одной реальной формы) и E называется определенным над действительными числами. Если E имеет реальную форму, то E изоморфен своему сопряженному (так как они оба являются суммой двух копий действительной формы), и, следовательно, нечетные классы Черна E есть заказ 2.

Смотрите также

• голоморфное векторное расслоение
• K-теория

Рекомендации

• Милнор, Джон Уиллард; Сташефф, Джеймс Д. (1974), Характерные классы, Анналы математических исследований, 76, Издательство Принстонского университета; Университет Токио Пресс, ISBN  978-0-691-08122-9