Методы расчета обтекания свободной поверхности - Computational methods for free surface flow

В физике поток со свободной поверхностью - это поверхность текущей жидкости, которая подвергается как нулевому перпендикулярному нормальному напряжению, так и параллельному напряжению сдвига. Это может быть граница между двумя однородными жидкостями, такими как вода в открытом контейнере и воздух в атмосфере Земли, которые образуют границу на открытой поверхности контейнера. Расчет свободных поверхностей сложен из-за непрерывного изменения положения пограничного слоя. Обычных методов расчета для такого анализа недостаточно. Поэтому для расчета течений со свободной поверхностью разрабатываются специальные методы.

Вступление

Расчет в потоках со свободными и движущимися границами типа открытый поток это сложная задача. Положение границы известно только в начальный момент времени, и его местоположение в более позднее время можно определить с помощью различных методов, таких как метод отслеживания интерфейса и метод захвата интерфейса.

Граничные условия

Пренебрегая фазовым переходом на свободной поверхности, применяются следующие граничные условия.

Кинематическое состояние

Свободная поверхность должна быть резкой границей, разделяющей две жидкости. Через эту границу не должно быть потока, т.е.

${\displaystyle [(v-v_{b})\cdot n]_{fs}=0,}$ или же

${\displaystyle {\dot {m}}_{fs}=0}$

куда ‘Fs’ обозначает свободную поверхность. Это означает, что нормальная составляющая скорости жидкости у поверхности равна нормальной составляющей скорости свободной поверхности.

Динамическое состояние

Силы, действующие на жидкость на свободной поверхности, должны находиться в равновесии, то есть импульс сохраняется на свободной поверхности. Нормальные силы по обе стороны от свободной поверхности равны и противоположны по направлению, а силы в тангенциальном направлении должны быть одинаковыми по величине и направлению.

${\displaystyle (n\cdot T)_{l}\cdot n+\sigma K=-(n\cdot T)_{g}\cdot n,}$

${\displaystyle (n\cdot T)_{l}\cdot t-{\frac {\partial \sigma }{\partial t}}=(n\cdot T)_{g}\cdot t,}$

${\displaystyle (n\cdot T)_{l}\cdot s-{\frac {\partial \sigma }{\partial s}}=(n\cdot T)_{g}\cdot s,}$

Здесь σ поверхностное натяжение, п, т и s - орты в локальной ортогональной системе координат (п,т,s) на свободной поверхности (п направлена ​​наружу нормально к свободной поверхности, а два других лежат в касательной плоскости и взаимно ортогональны). Индексы 'я и 'грамм' обозначают жидкость и газ соответственно и K - кривизна свободной поверхности.

${\displaystyle K={\frac {1}{R_{t}}}+{\frac {1}{R_{s}}}}$

с р_т и р_s радиусы кривизны по координатам т и s.

В поверхностное натяжение σ - сила на единицу длины элемента поверхности, действующая по касательной к свободной поверхности.

${\displaystyle f_{\sigma }=\sigma \ dl}$

Для бесконечно малого элемента поверхности dS, тангенциальные составляющие сил поверхностного натяжения сокращаются при σ = постоянная, а нормальная составляющая может быть выражена как локальная сила, которая приводит к скачку давления на поверхности.

Методы расчета

Метод отслеживания интерфейса

Это методы, которые рассматривают свободную поверхность как резкую границу раздела, за движением которой следят. В этом методе используются сетки с границами, которые продвигаются каждый раз при перемещении свободной поверхности.
Метод отслеживания границы полезен в таких ситуациях, как расчет обтекания погруженных тел. Это делается путем линеаризации относительно невозмущенной свободной поверхности, поэтому функция высоты вводится для возвышения свободной поверхности относительно ее невозмущенного состояния.

${\displaystyle Z=H(x,y,t)}$

Это придает кинематическому граничному условию новую форму:

∂H/∂t = u_z - ты_Икс∂H/∂x - ты_у∂H/∂y

Это уравнение можно интегрировать, и скорость жидкости на свободной поверхности может быть получена либо путем экстраполяции изнутри, либо с использованием динамических граничных условий. Для расчета расхода широко используется метод FV. Шаги для полностью консервативного метода FV этого типа:

• уравнение импульса решается для получения скорости ${\displaystyle u}$_{${\displaystyle i}$}^{${\displaystyle *}$} на текущей свободной поверхности с заданным давлением.
• Сохранение локальной массы обеспечивается в каждом CV путем решения уравнения поправки на давление. Масса сохраняется как глобально, так и локально, но коррекция скорости производится на свободной поверхности, что дает ненулевой поток массы.
• Положение свободной поверхности корректируется, чтобы компенсировать ненулевой массовый поток объемным потоком из-за движения каждой грани ячейки со свободной поверхностью путем обеспечения кинематических граничных условий.
• Итерируйте до тех пор, пока не отпадет необходимость в дальнейшей коррекции, удовлетворяющей уравнениям непрерывности и импульса.
• Переход к следующему временному шагу.^[1]

Основная проблема с алгоритмом в этой процедуре состоит в том, что существует только одно уравнение для одной ячейки, но большое количество движущихся узлов сетки. Чтобы избежать нестабильности и отражения волн, метод модифицирован следующим образом:
Из предыдущих шагов мы можем рассчитать объем жидкости, которая будет втекать в CV или из него, чтобы сохранить массу. Чтобы получить координаты вершин CV на свободной поверхности, у нас есть больше неизвестных и меньше уравнений из-за единой объемной скорости потока для каждой ячейки.

Следовательно, CV определяются центрами граней ячеек, а не вершинами, а вершины получаются интерполяцией. Это дает трехдиагональную систему для 2D и может быть решено с помощью Метод TDMA. Для 3D система является трехдиагональной и лучше всего решается одним из итерационных решателей.

Метод захвата интерфейса

При вычислении двухжидкостных потоков в некоторых случаях интерфейс может быть слишком сложным для отслеживания при сохранении частоты повторного создания сетки на приемлемом уровне. Невозможность снизить частоту повторного построения сетки в 3D может привести к огромным затратам на создание сетки и проекцию, в результате чего вычисления с использованием технологии отслеживания интерфейса станут невозможными. В таких случаях методы захвата интерфейсов, которые обычно не требуют дорогостоящих шагов обновления сетки, могут использоваться с пониманием того, что интерфейс не будет представлен так точно, как это было бы с техникой отслеживания интерфейса.^[2]Методы, которые не определяют интерфейс как резкую границу. Фиксированная сетка выходит за пределы свободной поверхности, по которой выполняется расчет. Чтобы определить форму свободной поверхности, вычисляется доля каждой ячейки около границы раздела, которая частично заполнена.

Маркер-и-ячейка или схема MAC

MAC Схема была предложена Харлоу и Велчем в 1965 году. В этом методе безмассовая частица вводится в начальный момент времени на свободной поверхности. Движение этой безмассовой частицы отслеживается с течением времени.

Выгода: В этой схеме можно рассматривать сложные явления, такие как обрушение волн.

Недостаток: В трехмерном потоке решение уравнений, управляющих потоком жидкости, а также отслеживание движения большого количества маркеров одновременно требует большой вычислительной мощности.

Схема объема жидкости или VOF

VOF Схема была предложена Хиртом и Николсом в 1981 году. В этом методе доля ячейки, занятая жидкой фазой, может быть рассчитана путем решения уравнения переноса.^[3] Уравнение переноса:

∂c/∂t + div (cv) = 0

где c - доля заполненного контрольного объема. c = 1 для полностью заполненных и c = 0 для полностью пустых контрольных объемов.
Таким образом, в целом для метода VOF необходимо решить три вида уравнений: уравнения сохранения массы, уравнения сохранения количества движения, уравнение заполненной фракции для каждого контрольного объема.

ПРИМЕЧАНИЕ: В НЕСЖИМАЕМЫХ ПОТОКАХ ВЫШЕ УРАВНЕНИЕ ДАЕТ ОДИНАКОВЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ С c И 1 - c, ЧТО ДЕЛАТЬ ОБЯЗАТЕЛЬНО УСИЛЕНИЕ СОХРАНЕНИЯ МАССЫ.

Поскольку схемы более высокого порядка предпочтительнее схем более низкого порядка, чтобы предотвратить искусственное смешивание двух жидкостей, важно предотвратить выбросы и выбросы из-за условия 0 ≤ c ≤ 1. Для таких проблем были внесены изменения в MAC и VOF. схемы.

Изменения в схеме MAC и VOF

Метод маркеров и микроячеек, при котором уточнение локальной сетки выполняется в соответствии со следующими критериями:

уточняются только ячейки с 0

Этот метод более эффективен, чем схема MAC, поскольку уточняются только ячейки на границе. Но в этом методе профиль свободной поверхности четко не определяется.

Гибридные методы

Некоторые потоки жидкости не подпадают ни под одну из категорий, например, пузырьковые потоки. Для расчета таких двухфазных потоков, которые не подпадают ни под одну из обсуждаемых выше категорий, элементы заимствованы как из методов захвата поверхности, так и у методов отслеживания поверхности. Такие методы называются гибридными. В этом методе свойства жидкости размазываются по фиксированному числу точек сетки, нормальных к границе раздела. Теперь, как и в методе захвата границы раздела фаз, обе жидкости рассматриваются как одна жидкость с переменными свойствами. Интерфейс также отслеживается, как и в методе отслеживания интерфейса, чтобы предотвратить его размытие путем перемещения маркерных частиц с использованием поля скорости, созданного решателем потока. частицы маркера добавляются и удаляются для поддержания точности, сохраняя приблизительное расстояние между ними одинаковым.

Рекомендации

1. Ферцигер, Джоэл Х. и Милован Перич. Вычислительные методы гидродинамики. Vol. 3. Берлин: Springer, 2002.
2. Тездуяр, Т. «Методы отслеживания и захвата интерфейсов для вычисления движущихся границ и интерфейсов». Материалы 6-го Всемирного конгресса по вычислительной механике, Интернет-издание: http: // wccm^{[постоянная мертвая ссылка ]}. Tuwien. ac. в /, Paper-ID. Vol. 81513. 2002.
3. Hirt, C.W .; Николс, Б. (1981), Метод объема жидкости (VOF) для динамики свободных границ, Journal of Computational Physics 39 (1): 201–225, Bibcode:1981JCoPh..39..201H, Дои:10.1016/0021-9991(81)90145-5