Ансамбль конформной петли - Conformal loop ensemble - Wikipedia

При критической перколяции на сотовой решетке каждая грань шестиугольника окрашивается в красный или черный цвет независимо с равной вероятностью. Каждый интерфейс, отделяющий черный кластер от красного, показан зеленым. Этот случайный набор интерфейсов по закону сходится к CLE.₆ когда шаг решетки стремится к нулю.

Чтобы определить случайный интерфейс, сходящийся к SLE, мы фиксируем цвета шестиугольников вдоль границы области. Эта процедура определяет единый интерфейс, отделяющий красные шестиугольники от черных шестиугольников. Этот путь по закону сходится к СКВ.₆ когда шаг решетки стремится к нулю.

А ансамбль конформных петель (CLE_κ) представляет собой случайный набор непересекающихся петель в односвязном открытом подмножестве плоскости. Эти случайные наборы циклов индексируются параметром κ, который может быть любым действительным числом от 8/3 до 8. CLE_κ является петлевой версией Эволюция Шрамма-Лёвнера: SLE_κ предназначен для моделирования одного дискретного случайного интерфейса, а CLE_κ моделирует полный набор интерфейсов.

Во многих случаях, когда существует предполагаемая или доказанная связь между дискретной моделью и SLE._κ, существует также предполагаемая или доказанная связь с CLE_κ. Например:

• CLE₃ предел интерфейсов для критических Модель Изинга.
• CLE₄ можно рассматривать как 0-набор Гауссово свободное поле.
• CLE_16/3 - это предел масштабирования интерфейсов кластера в критической перколяции FK Ising.
• CLE₆ это предел масштабирования критическая просачивание на треугольной решетке.

Конструкции

Для 8/3 <κ <8 CLE_κ могут быть построены с использованием разветвленного варианта SLE_κ процесс (Шеффилд (2009) ). Когда 8/3 <κ ≤ 4, CLE_κ в качестве альтернативы можно построить как совокупность внешних границ кластеров супа броуновской петли (Шеффилд и Вернер (2010) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFSheffield_and_Werner2010 (помощь)).

Характеристики

CLE_κ конформно инвариантен, что означает, что если ${\displaystyle \varphi :D\to D'}$ является конформным отображением, то закон CLE в D ' совпадает с законом изображения всех петель CLE в D под картой ${\displaystyle \varphi }$.

Поскольку CLE_κ может быть определено с помощью SLE_κ процесса, циклы CLE наследуют многие свойства пути от SLE. Например, каждый CLE_κ петля - это фрактал с почти уверенностью Хаусдорфово измерение 1 + κ / 8. Каждая петля почти наверняка проста (без самопересечений), когда 8/3 <κ ≤ 4, и почти наверняка самокасаясь, когда 4 <κ <8.

Набор всех точек, не входящих в цикл, который называется прокладка, имеет размерность Хаусдорфа 1 + 2 / κ + 3κ / 32 почти наверняка (Случайные супы, ковры и фрактальные измерения Наку и Вернера. Миллер, Солнце и Уилсон (2012) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFMiller, _Sun, _and_Wilson2012 (помощь)). Поскольку эта размерность строго больше 1 + κ / 8, почти наверняка есть точки, не содержащиеся в петле или окруженные ею. Однако, поскольку размер прокладки строго меньше 2, почти все точки (относительно меры площади) содержатся внутри петли.

CLE иногда определяется для включения только самых внешних циклов, так что набор циклов не является вложенным (ни один цикл не содержится в другом). Такой CLE называется просто CLE, чтобы отличить его от полный или же вложенный CLE. Закон полного CLE может быть восстановлен из закона простого CLE следующим образом. Пример коллекции простых циклов CLE, а внутри каждого цикла - другой набор простых циклов CLE. Бесконечно много итераций этой процедуры дает полный CLE.

Рекомендации

• Шеффилд, Скотт (2009), «Деревья исследования и ансамбли конформных петель», Duke Math J, 147 (1): 79–129, arXiv:математика / 0609167, Дои:10.1215/00127094-2009-007
• Миллер, Джейсон; Солнце, Nike; Уилсон, Дэвид (2012). «Хаусдорфовы размеры прокладки CLE». Анналы вероятности. 42 (4): 1644–1665. arXiv:1206.0725. Дои:10.1214 / 12-AOP820.
• Шеффилд, Скотт; Вернер, Венделин (2010). "Конформные ансамбли петель: марковская характеристика и конструкция петли-супа". arXiv:1006.2374.