Связь (алгебраическая структура) - Connection (algebraic framework) - Wikipedia

Геометрия квантовые системы (например.,некоммутативная геометрия и супергеометрия ) в основном формулируется в алгебраических терминах модули иалгебры. Подключения на модулях являются обобщением линейной связь на гладком векторный набор ${\displaystyle E\to X}$ написано как Кошульская связь на${\displaystyle C^{\infty }(X)}$-модуль секций ${\displaystyle E\to X}$.^[1]

Коммутативная алгебра

Позволять ${\displaystyle A}$ быть коммутативным звенеть и ${\displaystyle P}$ ан А-модуль. Существуют разные эквивалентные определения соединения на ${\displaystyle P}$.^[2] Позволять ${\displaystyle D(A)}$ быть модулем производные кольца ${\displaystyle A}$. Подключение на А-модуль ${\displaystyle P}$ определяется как А-модульный морфизм

${\displaystyle \nabla :D(A)\ni u\to \nabla _{u}\in \mathrm {Diff} _{1}(P,P)}$

так что первый заказ дифференциальные операторы ${\displaystyle \nabla _{u}}$ на${\displaystyle P}$ подчиняться правилу Лейбница

${\displaystyle \nabla _{u}(ap)=u(a)p+a\nabla _{u}(p),\quad a\in A,\quad p\in P.}$

Связи на модуле над коммутативным кольцом существуют всегда.

Кривизна соединения ${\displaystyle \nabla }$ определяется как дифференциальный оператор нулевого порядка

${\displaystyle R(u,u')=[\nabla _{u},\nabla _{u'}]-\nabla _{[u,u']}\,}$

на модуле ${\displaystyle P}$ для всех ${\displaystyle u,u'\in D(A)}$.

Если ${\displaystyle E\to X}$ является векторным расслоением, существует взаимно однозначное соответствие между линейные соединения ${\displaystyle \Gamma }$ на ${\displaystyle E\to X}$ и связи ${\displaystyle \nabla }$ на${\displaystyle C^{\infty }(X)}$-модуль секций ${\displaystyle E\to X}$. Строго говоря, ${\displaystyle \nabla }$ соответствует ковариантный дифференциал подключения на ${\displaystyle E\to X}$.

Градуированная коммутативная алгебра

Понятие связности модулей над коммутативными кольцами напрямую распространяется на модули над градуированнаякоммутативная алгебра.^[3] Это случайсуперсоединения в супергеометрия изградуированные многообразия и пучки супервекторов.Сверхсоединения всегда существуют.

Некоммутативная алгебра

Если ${\displaystyle A}$ некоммутативное кольцо, связи слева и справа А-модули определяются аналогично модулям над коммутативными кольцами.^[4] Однако эти связи не должны существовать.

В отличие от соединений на левом и правом модулях, существует проблема, как определить соединение нар-S-бимодуль над некоммутативными кольцамир и S. Есть разные определения такой связи.^[5] Назовем одну из них. Связь нар-S-бимодуль ${\displaystyle P}$ определяется как бимодулеморфизм

${\displaystyle \nabla :D(A)\ni u\to \nabla _{u}\in \mathrm {Diff} _{1}(P,P)}$

который подчиняется правилу Лейбница

${\displaystyle \nabla _{u}(apb)=u(a)pb+a\nabla _{u}(p)b+apu(b),\quad a\in R,\quad b\in S,\quad p\in P.}$

Смотрите также

• Подключение (векторный набор)
• Связь (математика)
• Некоммутативная геометрия
• Супергеометрия
• Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами

Примечания

1. Кошул (1950)
2. Кошул (1950), Манджиаротти (2000)
3. Барточчи (1991), Манджиаротти (2000)
4. Ланди (1997)
5. Дюбуа-Виолетт (1996), Ланди (1997)

Рекомендации

• Кошул Дж., Homologie et cohomologie des algebres de Lie,Bulletin de la Société Mathématique 78 (1950) 65
• Кошул, Дж., Лекции по пучкам волокон и дифференциальной геометрии (Университет Тата, Бомбей, 1960 г.)
• Барточчи, К., Бруццо, У., Эрнандес Руйперес, Д., Геометрия супермногообразия. (Kluwer Academic Publ., 1991). ISBN  0-7923-1440-9
• Дюбуа-Виолетт М., Мичор П. Связности на центральных бимодулях в некоммутативной дифференциальной геометрии. J. Geom. Phys. 20 (1996) 218. arXiv:q-alg / 9503020
• Ланди, Г., Введение в некоммутативные пространства и их геометрию, Лект. Заметки Физика, Новая серия м: Монографии, 51 (Спрингер, 1997) arXiv:hep-th / 9701078, iv + 181 стр.
• Манджиаротти, Л., Сарданашвили, Г., Связи в классической и квантовой теории поля (World Scientific, 2000) ISBN  981-02-2013-8

внешняя ссылка

• Сарданашвили, Г., Лекции по дифференциальной геометрии модулей и колец (Lambert Academic Publishing, Саарбрюккен, 2012 г.); arXiv:0910.1515