Контрастность (статистика) - Contrast (statistics)

В статистика, особенно в дисперсионный анализ и линейная регрессия, а контраст это линейная комбинация переменных (параметры или же статистика ), коэффициенты которого в сумме равны нулю, что позволяет сравнивать различные методы лечения.^[1][2]

Определения

Позволять ${displaystyle heta _{1},ldots , heta _{t}}$ быть набором переменных, либо параметры или же статистика, и ${displaystyle a_{1},ldots ,a_{t}}$ быть известными константами. Количество ${displaystyle sum _{i=1}^{t}a_{i} heta _{i}}$ является линейной комбинацией. Это называется контраст если ${displaystyle sum _{i=1}^{t}a_{i}=0}$.^[3][4] Кроме того, два контраста, ${displaystyle sum _{i=1}^{t}a_{i} heta _{i}}$ и ${displaystyle sum _{i=1}^{t}b_{i} heta _{i}}$, находятся ортогональный если ${displaystyle sum _{i=1}^{t}a_{i}b_{i}=0}$.^[5]

Примеры

Представим, что мы сравниваем четыре средства, ${displaystyle mu _{1},mu _{2},mu _{3},mu _{4}}$. В следующей таблице описаны три возможных контраста:

${displaystyle mu _{1}}$	${displaystyle mu _{2}}$	${displaystyle mu _{3}}$	${displaystyle mu _{4}}$
1	-1	0	0
0	0	1	-1
1	1	-1	-1

Первый контраст позволяет сравнивать первое среднее значение со вторым, второй контраст позволяет сравнивать третье среднее значение с четвертым, а третий контраст позволяет сравнивать среднее значение первых двух средних значений со средним значением последних двух.^[4]

В сбалансированной односторонний дисперсионный анализ Преимущество использования ортогональных контрастов заключается в полном разделении суммы квадратов обработки на неперекрывающиеся аддитивные компоненты, которые представляют изменение из-за каждого контраста.^[6] Рассмотрим числа выше: каждая из строк в сумме равна нулю (следовательно, они являются контрастами). Если мы умножим каждый элемент первой и второй строки и сложим их, это снова приведет к нулю, следовательно, первый и второй контраст ортогональны и так далее.

Наборы контраста

• Ортогональные контрасты представляют собой набор контрастов, в котором для любой отдельной пары сумма перекрестных произведений коэффициентов равна нулю (предположим, что размеры выборки равны).^[7] Хотя существует потенциально бесконечное количество наборов ортогональных контрастов, в любом данном наборе всегда будет максимум точно k - 1 возможные ортогональные контрасты (где k количество доступных групповых средств).^[8]
• Полиномиальные контрасты представляют собой специальный набор ортогональных контрастов, которые проверяют полиномиальные шаблоны в данных с более чем двумя средними (например, линейные, квадратичные, кубические, квартичные и т. д.).^[9]
• Ортонормальные контрасты являются ортогональными контрастами, удовлетворяющими дополнительному условию, что для каждого контраста сумма квадратов коэффициентов равна единице.^[7]

Фон

Контраст определяется как сумма среднего значения каждой группы, умноженная на коэффициент для каждой группы (т. Е. Число со знаком, c_j).^[10] В форме уравнения ${displaystyle L=c_{1}{ar {X}}_{1}+c_{2}{ar {X}}_{2}+cdots +c_{k}{ar {X}}_{k}equiv sum _{j}c_{j}{ar {X}}_{j}}$, где L - взвешенная сумма групповых средних, c_j коэффициенты представляют присвоенные веса средних (они должны быть в сумме равными 0 для ортогональных контрастов), и ${displaystyle {ar {X}}}$_j представляет собой группу средств.^[8] Коэффициенты могут быть положительными или отрицательными, дробными или целыми числами, в зависимости от интересующего сравнения. Линейные контрасты очень полезны и могут использоваться для проверки сложных гипотез в сочетании с ANOVA или множественной регрессией. По сути, каждый контраст определяет и проверяет конкретную модель различий между средствами.^[10]

Контрасты должны быть построены «для ответа на конкретные вопросы исследования» и не обязательно должны быть ортогональными.^[11]

Простой (не обязательно ортогональный) контраст - это разница между двумя средними. Более сложный контраст может проверить различия между несколькими средними (например, с четырьмя средними, присвоив коэффициенты –3, –1, +1 и +3) или проверить разницу между одним средним и объединенным средним нескольких групп ( например, если у вас есть четыре средних, назначьте коэффициенты –3, +1, +1 и +1) или проверьте разницу между объединенным средним нескольких групп и объединенным средним нескольких других групп (т. е. с четырьмя средними значениями назначьте коэффициенты –1, –1, +1 и +1).^[8] Коэффициенты для средств, которые должны быть объединены (или усреднены), должны быть одинаковыми по величине и направлению, то есть иметь одинаковый вес. Когда средним значениям присваиваются разные коэффициенты (либо по величине, либо по направлению, либо по обоим), контраст проверяет разницу между этими средними значениями. А контраст может быть любым из: набора коэффициентов, используемых для определения сравнения; конкретное значение линейной комбинации, полученной для данного исследования или эксперимента; то случайное количество определяется путем применения линейной комбинации к эффектам лечения, когда они сами считаются случайными величинами. В последнем контексте термин контрастная переменная иногда используется.

Иногда для сравнения используются контрасты смешанные эффекты. Типичный пример - разница между двумя результатами тестов - одной в начале семестра и другой в конце семестра. Обратите внимание, что нас интересует не одна из этих оценок, а только ее контраст (в данном случае - разница). Поскольку это линейная комбинация независимых переменных, ее дисперсия равна взвешенной сумме дисперсий слагаемых; в этом случае оба веса равны одному. Это «смешивание» двух переменных в одну может быть полезно во многих случаях, например, ANOVA, регресс, или даже как самостоятельная описательная статистика.

Примером сложного контраста могло бы быть сравнение 5 стандартных обработок с новым лечением, что дает каждому старому лечению среднее значение 1/5, а новое шестое лечение означает вес -1 (с использованием приведенного выше уравнения). Если эта новая линейная комбинация имеет среднее значение ноль, это будет означать, что нет никаких доказательств того, что старые методы лечения в среднем отличаются от нового лечения. Если сумма новой линейной комбинации положительна, есть некоторые свидетельства (сила доказательства часто связана с p-значением, вычисленным для этой линейной комбинации), что комбинированное среднее значение 5 стандартных методов лечения выше, чем новое лечение. иметь в виду. Аналогичные выводы получаются при отрицательной линейной комбинации.^[10] Однако сумма линейной комбинации не является критерием значимости. См. Раздел «Проверка значимости» (ниже), чтобы узнать, как определить, является ли контраст, вычисленный по образцу, значимым.

Обычные результаты для линейных комбинаций независимые случайные величины означают, что дисперсия контраста равна взвешенной сумме дисперсий.^[12] Если два контраста ортогональный, оценки, полученные с использованием таких контрастов, будут некоррелированный. Если доступны ортогональные контрасты, можно суммировать результаты статистического анализа в форме простой таблицы дисперсионного анализа таким образом, чтобы она содержала результаты для различных статистических данных испытаний, относящихся к разным контрастам, каждый из которых статистически независимый. Линейные контрасты легко преобразовать в суммы квадратов. SS_{контраст} = ${displaystyle { frac {n(sum c_{j}{ar {X}}_{j})^{2}}{sum c_{j}^{2}}}}$, с 1 степень свободы, куда п представляет количество наблюдений на группу. Если контрасты ортогональны, сумма SS_{контрасты} = СС_{лечение}. Проверка значимости контраста требует вычисления SS_{контраст}.^[8] Недавним достижением в статистическом анализе является стандартизованное среднее значение контрастной переменной. Это позволяет сравнить размер различий между группами, измеряемый по контрасту, и точность, с которой этот контраст может быть измерен в данном исследовании или эксперименте.^[13]

Значимость тестирования

SS_{контраст} также является средним квадратом, потому что все контрасты имеют 1 степень свободы. Разделение ${displaystyle MS_{contrast}}$ к ${displaystyle MS_{error}}$ производит F-статистика с одним и ${displaystyle df_{error}}$ степени свободы, Статистическая значимость из F_{контраст} можно определить путем сравнения полученной F-статистики с критическим значением F с такими же степенями свободы.^[8]

Рекомендации

• Казелла, Джордж; Бергер, Роджер L (2001). Статистические выводы. Cengage Learning. ISBN  9780534243128.
• Джордж Каселла (2008). Статистический дизайн. Springer. ISBN  978-0-387-75965-4.
• Everitt, BS; Скрондал, А (2010). Кембриджский статистический словарь (4-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  9780521766999.
• Дин, Анджела М.; Восс, Дэниел (1999). Планирование и анализ экспериментов. Springer. ISBN  9780387985619.

внешняя ссылка

• Примеры ортогональных контрастов для дисперсионного анализа
• Анализ контраста (Abdi & Williams, 2010)

Примечания

1. Казелла, Джордж; Бергер, Роджер L (2001). Статистические выводы. Cengage Learning. ISBN  9780534243128.
2. Джордж Каселла (2008). Статистический дизайн. Springer. ISBN  978-0-387-75965-4.
3. Казелла Бергер 2001, стр. 526.
4. Casella 2008, стр. 11.
5. Casella 2008, стр. 12.
6. Casella 2008, стр. 13.
7. Эверитт, Б.С. (2002) Кембриджский статистический словарь, ЧАШКА. ISBN  0-521-81099-X (запись "Ортогональные контрасты")
8. Хауэлл, Дэвид С. (2010). Статистические методы психологии (7-е изд.). Бельмонт, Калифорния: Томсон Уодсворт. ISBN  978-0-495-59784-1.
9. Ким, Чен Сон. «Ортогональные полиномиальные контрасты» (PDF). Получено 27 апреля 2012.
10. Кларк, Джеймс М. (2007). Промежуточный анализ данных: множественная регрессия и дисперсионный анализ. Университет Виннипега.
11. Кюль, Роберт О. (2000). Дизайн экспериментов: статистические принципы дизайна и анализа исследования (2-е изд.). Пасифик Гроув, Калифорния: Обучение Даксбери / Томсон. ISBN  0534368344.
12. Электронный справочник статистических методов NIST / SEMATECH
13. Чжан XHD (2011). Оптимальный высокопроизводительный скрининг: практический экспериментальный план и анализ данных для исследования РНКи в масштабе генома. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-73444-8.