Семейная гомология - Cotriple homology

В алгебре с учетом категории C с семейный, то п-я семейная гомология объекта Икс в C с коэффициентами в функторе E это п-й гомотопическая группа из E дополненного симплициального объекта, индуцированного Икс на двоих. Термин «гомология» происходит потому, что в абелевом случае Переписка Дольда – Кана, гомотопические группы являются гомологиями соответствующего цепного комплекса.

Пример: пусть N левый модуль над кольцом р и разреши ${\displaystyle E=-\otimes _{R}N}$. Позволять F - левый сопряженный функтора забывчивости из категории колец к Набор; т.е. свободный модульный функтор. потом ${\displaystyle FU}$ определяет котрой и п-я тройная гомология ${\displaystyle E(FU_{*}M)}$ это п-й левый производный функтор E оценивается в M; т.е. ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{n}^{R}(M,N)}$.

Пример (алгебраическая K-теория ):^[1] Напишем GL для функтора ${\displaystyle R\mapsto \varinjlim _{n}GL_{n}(R)}$. Как прежде, ${\displaystyle FU}$ определяет котрой на категории колец с F свободный кольцевой функтор и U забывчивый. Для кольца р, надо:

${\displaystyle K_{n}(R)=\pi _{n-2}GL(FU_{*}R),\,n\geq 3}$ 

где слева п-й K-группа р. Этот пример является экземпляром неабелева гомологическая алгебра.

Примечания

1. Свон, Ричард Г. (1972). «Некоторые отношения между высшими K-функторами». Журнал алгебры. 21: 113–136. Дои:10.1016/0021-8693(72)90039-7.

Рекомендации

• Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру. Кембриджские исследования в области высшей математики. 38. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-55987-4. МИСТЕР  1269324. OCLC  36131259.

дальнейшее чтение

• Кто добавил свободную алгебру в мою свободную алгебру?, сообщение в блоге.