Теорема Крамера (большие отклонения) - Cramérs theorem (large deviations) - Wikipedia

Теорема Крамера является фундаментальным результатом теория больших отклонений, субдисциплина теория вероятности. Он определяет функция оценки из серии iid случайные переменные Слабую версию этого результата впервые показал Харальд Крамер в 1938 г.

Заявление

Производящая функция логарифмического момента (которая является кумулянт -производящая функция) случайная переменная определяется как:

${\displaystyle \Lambda (t)=\log \operatorname {E} [\exp(tX_{1})].}$

Позволять ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots }$ быть последовательностью iid настоящий случайные переменные с производящей функцией конечного логарифмического момента, например ${\displaystyle \Lambda (t)<\infty }$ для всех ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$.

Тогда Преобразование Лежандра из ${\displaystyle \Lambda }$:

${\displaystyle \Lambda ^{*}(x):=\sup _{t\in \mathbb {R} }\left(tx-\Lambda (t)\right)}$

удовлетворяет,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\log \left(P\left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\geq nx\right)\right)=-\Lambda ^{*}(x)}$

для всех ${\displaystyle x>\operatorname {E} [X_{1}].}$

В терминологии теории больших отклонений результат можно переформулировать следующим образом:

Если ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots }$ представляет собой серию iid случайных величин, то распределения ${\displaystyle \left({\mathcal {L}}({\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i})\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ удовлетворить принцип большого отклонения с функция оценки ${\displaystyle \Lambda ^{*}}$.

Рекомендации

• Кленке, Ахим (2008). Теория вероятности. Берлин: Springer. стр.508. Дои:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN  978-1-84800-047-6.
• "Теорема Крамера", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]