Принцип игры в кости - Craps principle

В теория вероятности, то принцип игры в кости это теорема о мероприятие вероятности при повторном iid испытания. Позволять ${displaystyle E_{1}}$ и ${displaystyle E_{2}}$ обозначить два взаимоисключающий события, которые могут произойти в данном судебном процессе. Тогда вероятность того, что ${displaystyle E_{1}}$ происходит до ${displaystyle E_{2}}$ равно условная возможность который ${displaystyle E_{1}}$ происходит с учетом того, что ${displaystyle E_{1}}$ или же ${displaystyle E_{2}}$ происходят при следующем испытании, которое

${displaystyle operatorname {P} [E_{1},,{ ext{before}},,E_{2}]=operatorname {P} left[E_{1}mid E_{1}cup E_{2}ight]={frac {operatorname {P} [E_{1}]}{operatorname {P} [E_{1}]+operatorname {P} [E_{2}]}}}$

События ${displaystyle E_{1}}$ и ${displaystyle E_{2}}$ не должно быть вместе исчерпывающей (если они есть, результат тривиальный).^[1][2]

Доказательство

Позволять ${displaystyle A}$ быть событием, которое ${displaystyle E_{1}}$ происходит до ${displaystyle E_{2}}$. Позволять ${displaystyle B}$ быть событием, что ни ${displaystyle E_{1}}$ ни ${displaystyle E_{2}}$ происходит в данном испытании. С ${displaystyle B}$, ${displaystyle E_{1}}$ и ${displaystyle E_{2}}$ находятся взаимоисключающий и вместе исчерпывающей для первого испытания у нас есть

${displaystyle operatorname {P} (A)=operatorname {P} (E_{1})operatorname {P} (Amid E_{1})+operatorname {P} (E_{2})operatorname {P} (Amid E_{2})+operatorname {P} (B)operatorname {P} (Amid B)=operatorname {P} (E_{1})+operatorname {P} (B)operatorname {P} (Amid B)}$

и ${displaystyle operatorname {P} (B)=1-operatorname {P} (E_{1})-operatorname {P} (E_{2})}$. Поскольку испытания являются внутренними, мы имеем ${displaystyle operatorname {P} (Amid B)=operatorname {P} (A)}$. С помощью ${displaystyle operatorname {P} (A|E_{1})=1,quad operatorname {P} (A|E_{2})=0}$ и решая отображаемое уравнение для ${displaystyle operatorname {P} (A)}$ дает формулу

${displaystyle operatorname {P} (A)={frac {operatorname {P} (E_{1})}{operatorname {P} (E_{1})+operatorname {P} (E_{2})}}}$.

Заявление

Если испытания являются повторением игры между двумя игроками, и события

${displaystyle E_{1}:mathrm {player 1 wins} }$

${displaystyle E_{2}:mathrm {player 2 wins} }$

тогда принцип крэпса дает соответствующие условные вероятности выигрыша каждого игрока в определенном повторении, учитывая, что кто-то выигрывает (т. е. учитывая, что рисовать не происходит). Фактически, на результат влияет только относительная предельная вероятность выигрыша. ${displaystyle operatorname {P} [E_{1}]}$ и ${displaystyle operatorname {P} [E_{2}]}$ ; в частности, вероятность ничьей не имеет значения.

Остановка

Если игра повторяется до тех пор, пока кто-то не выиграет, то указанная выше условная вероятность - это вероятность того, что игрок выиграет игру. Это проиллюстрировано ниже для оригинальной игры кости, используя альтернативное доказательство.

Пример кости

Если игра ведется кости, то этот принцип может значительно упростить вычисление вероятности выигрыша в определенном сценарии. В частности, если первый бросок - 4, 5, 6, 8, 9 или 10, то кубики повторно бросают до тех пор, пока не произойдет одно из двух событий:

${displaystyle E_{1}:{ ext{ the original roll (called ‘the point’) is rolled (a win) }}}$

${displaystyle E_{2}:{ ext{ a 7 is rolled (a loss) }}}$

С ${displaystyle E_{1}}$ и ${displaystyle E_{2}}$ являются взаимоисключающими, применяется принцип кости. Например, если исходный результат выпадал 4, то вероятность выигрыша равна

${displaystyle {frac {3/36}{3/36+6/36}}={frac {1}{3}}}$

Это позволяет избежать суммирования бесконечная серия соответствующие всем возможным исходам:

${displaystyle sum _{i=0}^{infty }operatorname {P} [{ ext{first i rolls are ties,}}(i+1)^{ ext{th}}{ ext{roll is ‘the point’}}]}$

Математически мы можем выразить вероятность качения ${displaystyle i}$ связи с последующим поворотом точки:

${displaystyle operatorname {P} [{ ext{first i rolls are ties, }}(i+1)^{ ext{th}}{ ext{roll is ‘the point’}}]=(1-operatorname {P} [E_{1}]-operatorname {P} [E_{2}])^{i}operatorname {P} [E_{1}]}$

Суммирование становится бесконечным геометрическая серия:

${displaystyle sum _{i=0}^{infty }(1-operatorname {P} [E_{1}]-operatorname {P} [E_{2}])^{i}operatorname {P} [E_{1}]=operatorname {P} [E_{1}]sum _{i=0}^{infty }(1-operatorname {P} [E_{1}]-operatorname {P} [E_{2}])^{i}}$

${displaystyle ={frac {operatorname {P} [E_{1}]}{1-(1-operatorname {P} [E_{1}]-operatorname {P} [E_{2}])}}={frac {operatorname {P} [E_{1}]}{operatorname {P} [E_{1}]+operatorname {P} [E_{2}]}}}$

что согласуется с предыдущим результатом.

Рекомендации

1. Сьюзан Холмс (1998-12-07). "Принцип крэпса 10/16". statweb.stanford.edu. Получено 2016-03-17.
2. Дженнифер Уэллетт (31 августа 2010 г.). Дневники исчисления: как математика может помочь вам похудеть, победить в Вегасе и пережить зомби-апокалипсис. Издательская группа "Пингвин". С. 50–. ISBN  978-1-101-45903-4.

Примечания

• Питман, Джим (1993). Вероятность. Берлин: Springer-Verlag. п. 210. ISBN  0-387-97974-3.