Точка DNSS - DNSS point

Точки DNSS, также известные как точки Скиба, возникают в оптимальный контроль проблемы, которые имеют несколько оптимальных решений. Точка DNSS${displaystyle -}$названный в алфавитном порядке в честь Декерта и Нисимуры,^[1] Сетхи,^[2][3][4] и Скиба^[5]${displaystyle -}$является точкой безразличия в задаче оптимального управления, так что начиная с такой точки проблема имеет более одного различных оптимальных решений. Хорошее обсуждение таких вопросов можно найти в Grass et al.^{[6] [7]}

Определение

Особый интерес здесь представляют дисконтированный бесконечный горизонт. оптимальный контроль проблемы, которые автономны.^[8] Эти проблемы можно сформулировать как

${displaystyle max _{u(t)in Omega }int _{0}^{infty }e^{-ho t}varphi left(x(t),u(t)ight)dt}$

s.t.

${displaystyle {dot {x}}(t)=fleft(x(t),u(t)ight),x(0)=x_{0},}$

куда ${displaystyle ho >0}$ ставка дисконтирования, ${displaystyle x(t)}$ и ${displaystyle u(t)}$ - переменные состояния и управления, соответственно, в момент времени ${displaystyle t}$, функции ${displaystyle varphi }$ и ${displaystyle f}$ считаются непрерывно дифференцируемыми по своим аргументам и не зависят явно от времени ${displaystyle t}$, и ${displaystyle Omega }$ является набором возможных управлений и также явно не зависит от времени ${displaystyle t}$. Кроме того, предполагается, что интеграл сходится для любого допустимого решения ${displaystyle left(x(.),u(.)ight)}$. В такой задаче с одномерной переменной состояния ${displaystyle x}$, начальное состояние ${displaystyle x_{0}}$ называется Точка DNSS если система, исходящая из нее, демонстрирует несколько оптимальных решений или равновесий. Таким образом, по крайней мере, в окрестности ${displaystyle x_{0}}$, система переходит в одно состояние равновесия при ${displaystyle x>x_{0}}$ и другому для ${displaystyle x<x_{0}}$. В этом смысле, ${displaystyle x_{0}}$ является точкой безразличия, из которой система может перейти к любому из двух состояний равновесия.

Для двумерного оптимальный контроль проблемы, Грасс и др.^[6] и Zeiler et al.^[9] представляют примеры, демонстрирующие кривые DNSS.

Некоторые ссылки на применение точек DNSS приведены в Caulkins et al.^[10] и Zeiler et al.^[11]

История

Суреш П. Сетхи впервые выявили такие точки безразличия в 1977 году.^[2] Далее, Скиба,^[5] Сетхи,^[3][4] и Декерт и Нисимура^[1] исследовали эти точки безразличия в экономических моделях. Термин точки DNSS (Deckert, Nishimura, Sethi, Skiba), введенный Грассом и др.,^[6] признает (в алфавитном порядке) вклад этих авторов.

Эти точки безразличия ранее упоминались как Скиба баллы или же Точки DNS в литературе.^[6]

Пример

Простая проблема, демонстрирующая такое поведение, дается формулой ${displaystyle varphi left(x,uight)=xu,}$ ${displaystyle fleft(x,uight)=-x+u,}$ и ${displaystyle Omega =left[-1,1ight]}$. Это показано в Grass et al.^[6] который ${displaystyle x_{0}=0}$ является точкой DNSS для этой проблемы, потому что оптимальный путь ${displaystyle x(t)}$ может быть ${displaystyle left(1-e^{-t}ight)}$ или же ${displaystyle left(-1+e^{-t}ight)}$. Обратите внимание, что для ${displaystyle x_{0}<0}$, оптимальный путь ${displaystyle x(t)=-1+e^{-tleft(x_{0}+1ight)}}$ и для ${displaystyle x_{0}>0}$, оптимальный путь ${displaystyle x(t)=1+e^{-tleft(x_{0}-1ight)}}$.

Расширения

За дополнительными подробностями и расширениями читатель может обратиться к Grass et al.^[6]

Рекомендации

1. Deckert, D.W .; Нисимура, К. (1983). «Полная характеристика оптимальных путей роста в агрегированной модели с невогнутой производственной функцией». Журнал экономической теории. 31 (2): 332–354. Дои:10.1016/0022-0531(83)90081-9.
2. Сетхи, С. (1977). «Ближайшие возможные пути в задачах оптимального управления: теория, примеры и контрпримеры». Журнал теории оптимизации и приложений. 23 (4): 563–579. Дои:10.1007 / BF00933297. S2CID  123705828.
3. Сетхи, С.П. (1979). «Оптимальная рекламная политика с моделью заражения». Журнал теории оптимизации и приложений. 29 (4): 615–627. Дои:10.1007 / BF00934454. S2CID  121398518.
4. Сетхи, С.П., «Оптимальные карантинные программы для борьбы с распространением эпидемии», Журнал Общества операционных исследований, 29(3), 1978, 265-268. JSTOR 3009454 ССРН 3587573
5. Скиба, А. (1978). «Оптимальный рост с выпукло-вогнутой производственной функцией». Econometrica. 46 (3): 527–539. Дои:10.2307/1914229. JSTOR  1914229.
6. Grass, D .; Caulkins, J. P .; Feichtinger, G .; Tragler, G .; Беренс, Д. А. (2008). Оптимальное управление нелинейными процессами: применение в борьбе с наркотиками, коррупцией и терроризмом. Springer. ISBN  978-3-540-77646-8.
7. Сетхи, С.П., Теория оптимального управления: приложения к менеджменту и экономике, Третье издание, Springer Nature Switzerland AG, 2019. (565 страниц - ISBN  978-3-319-98236-6) Springer Link.
8. Sethi, S.P .; Томпсон, Г. Л. (2000). Теория оптимального управления: приложения к менеджменту и экономике (Второе изд.). Springer. ISBN  0-387-28092-8. Слайды доступны на http://www.utdallas.edu/~sethi/OPRE7320presentation.html
9. Цайлер, И., Колкинс, Дж., Грасс, Д., Траглер, Г. (2009). Сохранение возможностей открытыми: модель оптимального управления с траекториями, которые достигают точки DNSS в положительное время. SIAM Journal по управлению и оптимизации, Vol. 48, No. 6, pp. 3698-3707. doi = 10.1137 / 080719741 |
10. Caulkins, J. P .; Feichtinger, G .; Grass, D .; Траглер, Г. (2009). «Оптимальный контроль над терроризмом и глобальная репутация: тематическое исследование с новым пороговым поведением». Письма об исследованиях операций. 37 (6): 387–391. Дои:10.1016 / j.orl.2009.07.003.
11. И. Цайлер, Дж. П. Колкинс и Г. Траглер. Когда двое становятся одним: оптимальный контроль взаимодействующих лекарств. Рабочий документ, Венский технологический университет, Вена, Австрия