Плотность энергии без искажений - Distortion free energy density

В Плотность энергии без искажений - величина, описывающая увеличение плотности свободной энергии жидкокристаллический вызванные искажениями из-за его равномерно выровненной конфигурации. Его также обычно называют Откровенная плотность свободной энергии названный в честь Фредерик Чарльз Франк.

Нематический жидкий кристалл

Плотность свободной от искажения энергии в нематическом жидком кристалле является мерой увеличения Свободная энергия Гельмгольца на единицу объема из-за отклонений в ориентационном порядке от однородно ориентированной конфигурации нематического директора. Таким образом, полная плотность свободной энергии нематика определяется как:

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{T}={\mathcal {F}}_{0}+{\mathcal {F}}_{d},}$

куда ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{T}}$ - полная плотность свободной энергии жидкого кристалла, ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$ - плотность свободной энергии, связанная с однородно ориентированным нематиком, и ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{d}}$ - вклад в плотность свободной энергии из-за искажений в этом порядке. Для нехиральных нематических жидких кристаллов ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{d}}$ обычно состоит из трех терминов:

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{d}={\frac {1}{2}}K_{1}(\nabla \cdot \mathbf {\hat {n}} )^{2}+{\frac {1}{2}}K_{2}(\mathbf {\hat {n}} \cdot \nabla \times \mathbf {\hat {n}} )^{2}+{\frac {1}{2}}K_{3}(\mathbf {\hat {n}} \times \nabla \times \mathbf {\hat {n}} )^{2}.}$

Единичный вектор ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ - нормированный директор молекул ${\displaystyle (|\mathbf {\hat {n}} |=1)}$, который описывает характер искажения. Три константы ${\displaystyle K_{i}}$ известны как константы Франка и зависят от конкретного описываемого жидкого кристалла. Обычно они порядка ${\displaystyle 10^{-6}}$ дин.^[1] Каждый из трех членов представляет собой тип искажения нематика. Первый член представляет собой чистый сдвиг, второй - чистый поворот, а третий - чистый изгиб. Комбинация этих терминов может использоваться для обозначения произвольной деформации жидкого кристалла. Часто бывает, что все три константы Франка имеют один и тот же порядок величины, и поэтому обычно принято приближать ${\displaystyle K_{1}=K_{2}=K_{3}=K}$.^[2] Это приближение обычно упоминается как приближение одной константы и используется в основном потому, что свободная энергия упрощается в этой гораздо более компактной в вычислительном отношении форме:

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{d}={\frac {1}{2}}K\left[(\nabla \cdot \mathbf {\hat {n}} )^{2}+|\nabla \times \mathbf {\hat {n}} |^{2}\right].}$

Четвертый член также обычно добавляется к плотности свободной энергии Франка, называемой энергией выпадения седла, которая описывает поверхностное взаимодействие. Этим часто пренебрегают при вычислении конфигураций поля директора, поскольку энергии в объеме жидкого кристалла часто больше, чем энергии, приходящиеся на поверхность. Выдается:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}K_{24}\nabla \cdot \left[(\mathbf {\hat {n}} \cdot \nabla )\mathbf {\hat {n}} -\mathbf {\mathbf {\hat {n}} } (\nabla \cdot \mathbf {\hat {n}} )\right].}$

Если в жидкий кристалл добавляются включения, дополнительный член вносит вклад в плотность свободной энергии из-за их присутствия, часто характеризуемый термином, известным как приближение Рапини:

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}=-\oint {\frac {1}{2}}W(\mathbf {\hat {n}} \cdot \mathbf {\hat {\nu }} )^{2}\mathrm {d} S.}$

Энергия заякорения определяется выражением ${\displaystyle W}$ и единичный вектор ${\displaystyle \mathbf {\hat {\nu }} }$ нормально к поверхности частиц.^[3]

Хиральный жидкий кристалл

В случае, когда жидкий кристалл состоит из хиральных молекул, к плотности свободной энергии искажения добавляется дополнительный член. Термин меняет знак при инвертировании осей и определяется выражением:

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{Ch}=k_{2}(\mathbf {\hat {n}} \cdot \nabla \times \mathbf {\hat {n}} ).}$

Префактор ${\displaystyle k_{2}}$ зависит от степени молекулярной хиральности.^[4] Следовательно, для случая хирального жидкого кристалла полная плотность свободной энергии определяется выражением:

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{T}={\mathcal {F}}_{0}+{\frac {1}{2}}K_{1}(\nabla \cdot \mathbf {\hat {n}} )^{2}+{\frac {1}{2}}K_{2}(\mathbf {\hat {n}} \cdot \nabla \times \mathbf {\hat {n}} +q_{0})^{2}+{\frac {1}{2}}K_{3}(\mathbf {\hat {n}} \times \nabla \times \mathbf {\hat {n}} )^{2}.}$

Количество ${\displaystyle q_{0}=2\pi /P_{0}}$ описывает поле ${\displaystyle P_{0}}$ холестерической спирали.

Вклады электрического и магнитного полей

В результате анизотропных диамагнитных свойств жидкокристаллических мезогенов и электрической поляризуемости электрические и магнитные поля могут вызывать выравнивание в жидких кристаллах. Применяя поле, можно эффективно снизить свободную энергию жидкого кристалла.^[5]

Чтобы понять влияние магнитного поля на плотность свободной энергии искажений, небольшую область локального нематического порядка ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ часто рассматривается, в котором ${\displaystyle \chi _{\perp }}$ и ${\displaystyle \chi _{\parallel }}$ - магнитная восприимчивость перпендикулярно и параллельно ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$. Значение ${\displaystyle \Delta \chi \equiv \chi _{\parallel }-\chi _{\perp }=N<P_{2}(\cos {\theta })>}$, где N - количество мезогенов в единице объема. Тогда работа на единицу объема, выполняемая полем, определяется как:

${\displaystyle W_{magnetic}=\int _{0}^{H}(-M_{\perp }\sin {\theta }-M_{\parallel }\cos {\theta })\,dH=-{\frac {H^{2}}{2}}(\chi _{\perp }+\Delta \chi \cos {\theta }^{2}),}$

куда:

${\displaystyle M_{\parallel }=H\chi _{\parallel }\cos {\theta }}$

${\displaystyle M_{\perp }=H\chi _{\perp }\sin {\theta }.}$

Поскольку ${\displaystyle -{\frac {H^{2}\chi _{\perp }}{2}}}$ член пространственно инвариантен, им можно пренебречь, поэтому магнитный вклад в плотность свободной энергии искажений становится:

${\displaystyle -{\frac {\Delta \chi }{2}}[\mathbf {H} \cdot \mathbf {\hat {n}} ]^{2}.}$

Из аналогичных аргументов можно определить вклад электрического поля в свободную энергию искажений, который определяется как:

${\displaystyle -{\frac {\Delta \epsilon }{8\pi }}[\mathbf {E} \cdot \mathbf {\hat {n}} ]^{2}.}$

Количество ${\displaystyle \Delta \epsilon \equiv \epsilon _{\parallel }-\epsilon _{\perp }}$ - разница между локальными диэлектрическими проницаемостями перпендикулярно и параллельно ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$.

Примечания

1. де Жен и Прост 1995, п. 103
2. Чандрасекхар 1992, п. 118
3. Куксенок и др. 1996 г., п. 5199
4. Чайкин и Любенский 1995, стр. 299–300
5. Пристли, Войтович и Шенг 1975, стр. 107–110

Рекомендации

• Чайкин, Пол М.; Лубенский, Том С. (1995). Принципы физики конденсированного состояния. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-43224-3.
• Чандрасекхар, Шиварамакришна (1992). Жидкие кристаллы (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-41747-3.
• де Женн, Пьер-Жиль; Прост, Дж. (10 августа 1995 г.). Физика жидких кристаллов (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-851785-8.
• Kamien, Randall D .; Селинджер, Джонатан В. (22 января 2001 г.). «Порядок и расстройство в хиральных жидких кристаллах». Журнал физики: конденсированное вещество. 13 (3). arXiv:cond-mat / 0009094. Bibcode:2001JPCM ... 13R ... 1K. Дои:10.1088/0953-8984/13/3/201.
• Куксенок, О.В .; Ruhwandl, R.W .; Шияновский, С. В .; Терентьев, Э. М. (ноябрь 1996 г.). «Управляющая структура вокруг коллоидной частицы, подвешенной в нематическом жидком кристалле». Физический обзор E. 54 (5): 5198–5203. Bibcode:1996PhRvE..54.5198K. Дои:10.1103 / PhysRevE.54.5198.
• Priestley, E.B .; Wojtowicz, Peter J .; Шэн, Пинг (1975). Введение в жидкие кристаллы. Пленум Пресс. ISBN  0-306-30858-4.