Распределительность (теория порядка) - Distributivity (order theory)

в математический зона теория порядка, существуют различные представления об общей концепции распределенность, применительно к формированию супрема и инфима. Большинство из них относятся к частично упорядоченные наборы это по крайней мере решетки, но на самом деле эту концепцию разумно обобщить на полурешетки также.

Распределительные решетки

Вероятно, наиболее распространенным типом дистрибутивности является тот, который определен для решетки, где образование двоичных супремум и инфим обеспечивает суммарные операции соединения (${\displaystyle \vee }$) и встречайте (${\displaystyle \wedge }$). Затем распределительность этих двух операций выражается требованием, чтобы идентичность

${\displaystyle x\wedge (y\vee z)=(x\wedge y)\vee (x\wedge z)}$

придерживаться всех элементов Икс, у, и z. Этот закон распределительности определяет класс распределительные решетки. Обратите внимание, что это требование можно перефразировать, сказав, что двоичный файл соответствует сохранить бинарные соединения. Приведенное выше утверждение, как известно, эквивалентно его заказ двойной

${\displaystyle x\vee (y\wedge z)=(x\vee y)\wedge (x\vee z)}$

такая, что одного из этих свойств достаточно для определения дистрибутивности решеток. Типичные примеры распределительной решетки: полностью упорядоченные наборы, Булевы алгебры, и Гейтинговые алгебры. Каждая конечная дистрибутивная решетка является изоморфный к решетке множеств, упорядоченных по включению (Теорема Биркгофа о представлении ).

Дистрибутивность полурешеток

Диаграмма Хассе для определения дистрибутивности встречной полурешетки.

А полурешетка является частично заказанный набор только с одной из двух операций решетки, либо встреча- или стыковочная полурешетка. Учитывая, что существует только одна бинарная операция, очевидно, что дистрибутивность не может быть определена стандартным способом. Тем не менее, из-за взаимодействия одной операции с заданным порядком, следующее определение дистрибутивности остается возможным. А встречная полурешетка является распределительный, если для всех а, б, и Икс:

Если а ∧ б ≤ Икс тогда есть а ' и б ' такой, что а ≤ а ' , б ≤ б ' и Икс = а ' ∧ б ' .

Дистрибутивные полурешетки соединения определены вдвойне: а стыковочная полурешетка является распределительный, если для всех а, б, и Икс:

Если Икс ≤ а ∨ б тогда есть а ' и б ' такой, что а ' ≤ а, б ' ≤ б и Икс = а ' ∨ б ' .

В любом случае a 'и b' не обязательно должны быть уникальными. Эти определения оправдываются тем фактом, что для любой решетки L, все следующие утверждения эквивалентны:

• L дистрибутивна как встреча-полурешётка
• L дистрибутивна как полурешётка
• L является дистрибутивной решеткой.

Таким образом, любая дистрибутивная полурешетка, в которой существуют бинарные соединения, является дистрибутивной решеткой. Джойн-полурешетка дистрибутивна тогда и только тогда, когда решетка ее идеалы (при включении) является дистрибутивным.^[1]

Это определение дистрибутивности позволяет обобщить некоторые утверждения о дистрибутивных решетках на дистрибутивные полурешетки.

Законы распределительности для полных решеток

Для полный решетки, произвольные подмножества имеют как нижнюю, так и верхнюю границу, и поэтому доступны бесконечные операции пересечения и соединения. Таким образом, можно описать несколько расширенных понятий дистрибутивности. Например, для бесконечный закон распределения, конечные встречи могут распределяться по произвольным соединениям, т.е.

${\displaystyle x\wedge \bigvee S=\bigvee \{x\wedge s\mid s\in S\}}$

может относиться ко всем элементам Икс и все подмножества S решетки. Полные решетки с этим свойством называются кадры, локации или полные алгебры Гейтинга. Они возникают в связи с бессмысленная топология и Каменная двойственность. Этот закон распределения не эквивалентно к своему двойному заявлению

${\displaystyle x\vee \bigwedge S=\bigwedge \{x\vee s\mid s\in S\}}$

который определяет класс двойственных шкал или полных когейтинговых алгебр.

Теперь можно пойти еще дальше и определить порядки, в которых произвольные объединения распределяются по произвольным встречам. Такие конструкции называются полностью распределительные решетки. Однако для выражения этого требуются более технические формулировки. Рассмотрим дважды индексируемую семью {Икс_j,k | j в J, k в K(j)} элементов полной решетки, и пусть F быть набором функций выбора ж выбор для каждого индекса j из J какой-то индекс ж(j) в K(j). Полная решетка полностью распределительный если для всех таких данных выполняется следующее утверждение:

${\displaystyle \bigwedge _{j\in J}\bigvee _{k\in K(j)}x_{j,k}=\bigvee _{f\in F}\bigwedge _{j\in J}x_{j,f(j)}}$

Полная дистрибутивность снова является самодуальным свойством, т.е. дуализация приведенного выше утверждения дает тот же класс полных решеток. Полностью дистрибутивные полные решетки (также называемые полностью распределительные решетки для краткости) действительно очень особенные структуры. См. Статью о полностью распределительные решетки.

Литература

Дистрибутивность - это основное понятие, которое рассматривается в любом учебнике по теории решетки и порядка. См. Литературу для статей по теория порядка и теория решетки. Более конкретная литература включает:

• Г. Н. Рэйни, Полностью дистрибутивные полные решетки, Труды Американское математическое общество, 3: 677 - 680, 1952.

1. Г. Гретцер (2011). Теория решетки: фундамент. Springer / Birkhäuser.; здесь: разд. II.5.1, стр.167