Лемма Дугласа - Douglas lemma - Wikipedia

В теория операторов, область математики, Лемма Дугласа^[1] относится факторизация, включение диапазона и мажорирование Гильбертово пространство операторы. Обычно это приписывают Рональд Дж. Дуглас, хотя Дуглас признает, что некоторые аспекты результата, возможно, уже были известны. Формулировка результата выглядит следующим образом:

Теорема: Если ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ находятся ограниченные операторы в гильбертовом пространстве ${\displaystyle H}$, следующие эквиваленты:

1. ${\displaystyle \operatorname {range} A\subseteq \operatorname {range} B}$
2. ${\displaystyle AA^{*}\leq \lambda ^{2}BB^{*}}$ для некоторых ${\displaystyle \lambda \geq 0}$
3. Существует ограниченный оператор ${\displaystyle C}$ на ${\displaystyle H}$ такой, что ${\displaystyle A=BC}$.

Более того, если эти эквивалентные условия выполнены, то существует единственный оператор ${\displaystyle C}$ такой, что

• ${\displaystyle \Vert C\Vert ^{2}=\inf\{\mu :\,AA^{*}\leq \mu BB^{*}\}}$
• ${\displaystyle \ker A=\ker C}$
• ${\displaystyle \operatorname {range} C\subseteq {\overline {\operatorname {range} B^{*}}}}$.

Обобщение леммы Дугласа для неограниченных операторов в банаховом пространстве было доказано Фороу (2014).^[2]

Смотрите также

Положительный оператор

Рекомендации

1. Дуглас, Р. Г. (1966). «О мажоризации, факторизации и включении диапазонов операторов в гильбертовом пространстве». Труды Американского математического общества. 17: 413–415. Дои:10.2307/2035178. МИСТЕР  0203464.
2. Форух, М. (2014). «Мажоризация, включение по диапазонам и факторизация для неограниченных операторов в банаховых пространствах». Линейная алгебра и ее приложения. 449: 60–67. Дои:10.1016 / j.laa.2014.02.033. МИСТЕР  3191859.