Теорема Дадли - Dudleys theorem - Wikipedia

В теория вероятности, Теорема Дадли результат, относящийся к ожидал верхняя граница и свойства регулярности из Гауссовский процесс к его энтропия и ковариация структура.

История

Результат был впервые сформулирован и доказан В. Н. Судаковым, как указано в статье Дадли, "Работа В. Н. Судакова об ожидаемых супремах гауссовских процессов", в сб. Вероятность высокого измерения VII, Ред. К. Удре, Д. М. Мейсон, П. Рейно-Бурэ и Ян Росиньски, Биркхэузер, Springer, Прогресс в вероятности 712016. С. 37–43. Дадли ранее указывал Фолькер Штрассен с установлением связи между энтропией и регулярностью.

Заявление

Позволять (Икс_т)_т∈Т - гауссовский процесс, и пусть d_Икс быть псевдометрический на Т определяется

${\displaystyle d_{X}(s,t)={\sqrt {\mathbf {E} {\big [}|X_{s}-X_{t}|^{2}]}}.\,}$

За ε > 0, обозначим через N(Т, d_Икс; ε) число энтропии, т.е. минимальное количество (открытых) d_Икс-шары радиуса ε требуется для покрытия Т. потом

${\displaystyle \mathbf {E} \left[\sup _{t\in T}X_{t}\right]\leq 24\int _{0}^{+\infty }{\sqrt {\log N(T,d_{X};\varepsilon )}}\,\mathrm {d} \varepsilon .}$

Кроме того, если интеграл энтропии в правой части сходится, то Икс имеет версию, в которой почти весь выборочный путь ограничен и (равномерно) непрерывен на (Т, d_Икс).

Рекомендации

• Дадли, Ричард М. (1967). «Размеры компактных подмножеств гильбертова пространства и непрерывность гауссовских процессов». Журнал функционального анализа. 1: 290–330. Дои:10.1016/0022-1236(67)90017-1. МИСТЕР  0220340.
• Леду, Мишель; Талагранд, Мишель (1991). Вероятность в банаховых пространствах. Берлин: Springer-Verlag. С. xii + 480. ISBN  3-540-52013-9. МИСТЕР  1102015. (См. Главу 11)