Динамическое подобие (числа Рейнольдса и Уомерсли) - Dynamic similarity (Reynolds and Womersley numbers) - Wikipedia
В механика жидкости, динамическое сходство это явление, когда есть два геометрически подобных сосуда (одинаковой формы, разных размеров) с одинаковыми граничными условиями (например, отсутствие проскальзывания, скорость по средней линии) и одинаковыми Рейнольдс и Числа Уомерсли, то потоки жидкости будут идентичными. Это видно из осмотра нижележащих Уравнение Навье-Стокса, с геометрически подобными телами, равными числами Рейнольдса и Уомерсли функции скорости (u ’, v’, w ’) и давления (P’) для любого изменения потока.[1]
Вывод
Число Рейнольдса и число Уомерсли являются единственными двумя физическими параметрами, необходимыми для решения проблемы течения несжимаемой жидкости. Число Рейнольдса определяется по формуле:
Члены самого уравнения представляют собой следующее:
- .
Когда число Рейнольдса велико, это показывает, что в потоке преобладают конвективные инерционные эффекты; Когда число Рейнольдса невелико, это показывает, что в потоке преобладают эффекты сдвига. Число Уомерсли определяется по формуле:
- ,
который представляет собой просто квадратный корень из числа Стокса; члены самого уравнения представляют собой следующее:
- .
Когда число Уомерсли велико (около 10 или больше), оно показывает, что в потоке преобладают колебательные силы инерции и что профиль скорости плоский. Когда параметр Уомерсли низкий, силы вязкости стремятся преобладать над потоком, профили скорости имеют параболическую форму, а скорость по средней линии колеблется в фазе с движущим градиентом давления.[2]
Начиная с Уравнение Навье – Стокса для декартова потока:
- .
Члены самого уравнения представляют собой следующее:
Пренебрегая гравитационными силами и разделив уравнение на плотность () дает:
- ,
куда - кинематическая вязкость. Поскольку и числа Рейнольдса, и числа Уомерсли безразмерны, Навье-Стокса также необходимо представить как безразмерное выражение. Выбор , , и как характеристическая скорость, частота и длина соответственно дают безразмерные переменные: Безразмерный член длины (то же самое для y 'и z'):, Термин безразмерной скорости (то же самое для v 'и w'): , Безразмерное давление: , Срок безразмерного времени: Разделив уравнение Навье-Стокса на (Термин конвективная инерционная сила) дает:
- ,
С добавлением безразмерного уравнения неразрывности (см. Ниже) в любую задачу о потоке несжимаемой жидкости числа Рейнольдса и Уомерсли являются единственными двумя физическими параметрами, которые входят в эти два уравнения:
- ,[4]
Толщина пограничного слоя
Числа Рейнольдса и Уомерсли также используются для расчета толщины пограничные слои которые могут образоваться из-за вязкого воздействия потока жидкости. Число Рейнольдса используется для расчета толщины конвективного инерционного пограничного слоя, который может образоваться, а число Уомерсли используется для расчета толщины переходной инерционной границы, которая может образоваться. Из числа Уомерсли можно показать, что переходная сила инерции представлена выражением , и из последнего члена в немодифицированном уравнении Навье-Стокса, вязкая сила представлена как (нижний индекс один означает, что толщина пограничного слоя равна толщине переходного пограничного слоя). Уравнивание двух сил друг другу дает:Решение для дает:Добавление характеристической длины (L) к обеим сторонам дает соотношение:Следовательно, можно видеть, что, когда поток имеет высокое число Уомерсли, толщина переходного пограничного слоя очень мала по сравнению с характерной длиной, которая для круглых сосудов является радиусом. Как было показано ранее, конвективная инерционная сила представлена членом ; приравнивая это к члену вязкой силы, получаем:Решение для толщины конвективного пограничного слоя дает:Факторизация характерной длины дает соотношение:Из уравнения видно, что для потока с большим числом Рейнольдса будет соответственно небольшой конвективный пограничный слой по сравнению с характерной длиной судна.[5] Зная числа Рейнольдса и Уомерсли для данного потока, можно вычислить толщину переходного и конвективного пограничного слоя и связать их с потоком в другой системе. Толщина пограничного слоя также полезна для понимания того, когда жидкость можно рассматривать как идеальную жидкость. Это расстояние превышает толщину обоих пограничных слоев.[6]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Джонс, Роберт Т. "Кровоток", Ежегодный обзор гидромеханики, 1(1969)223:244.
- ^ Ку, Дэвид Н. "Кровоток в артериях". Ежегодный обзор гидромеханики, 1(1969)223:44.
- ^ Фунг, Юань-чэн. «Биомеханика: кровообращение», Динамическое сходство, «Нью-Йорк: Спрингер», 2 (2008) 130: 134.
- ^ ван де Воссе, Франс М. «Распространение пульсовой волны в артериальном дереве». Ежегодный обзор гидромеханики, 43(2011)467:499.
- ^ Скалак, Ричард. «Механика биожидкостей», Ежегодный обзор гидромеханики, 21(1989)167:204.
- ^ Тейлор, М. Г. «Гемодинамика», Ежегодный обзор физиологии, 35(1973)87:116.