Индекс Дынкина - Dynkin index

В математика, то Индекс Дынкина

${displaystyle x_{lambda }}$

представительства с наибольшим весом ${displaystyle |lambda |}$ компактного простого Алгебра Ли ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ что есть самый высокий вес ${displaystyle lambda }$ определяется

${displaystyle {m {tr}}(t_{a}t_{b})=2x_{lambda }g_{ab}}$

оценивается в представлении ${displaystyle |lambda |}$. Вот ${displaystyle t_{a}}$ - матрицы, представляющие генераторы, и ${displaystyle g_{ab}}$ дан кем-то

${displaystyle {m {tr}}(t_{a}t_{b})=2g_{ab}}$

оценивается в определяющем представлении.

Прослеживая следы, мы обнаруживаем, что

${displaystyle x_{lambda }={frac {dim |lambda |}{2dim {mathfrak {g}}}}(lambda ,lambda +2ho )}$

где Вектор Вейля

${displaystyle ho ={frac {1}{2}}sum _{alpha in Delta ^{+}}alpha }$

равна половине суммы всех положительные корни из ${displaystyle {mathfrak {g}}}$. Выражение ${displaystyle (lambda ,lambda +2ho )}$ - значение квадратичного Казимира в представлении ${displaystyle |lambda |}$. Индекс ${displaystyle x_{lambda }}$ всегда положительное целое число.

В частном случае, когда ${displaystyle lambda }$ это высший корень, означающий, что ${displaystyle |lambda |}$ это присоединенное представительство, ${displaystyle x_{lambda }}$ равно двойное число Кокстера.

использованная литература

• Филипп Ди Франческо, Пьер Матье, Давид Сенешаль, Конформная теория поля, 1997 Springer-Verlag New York, ISBN  0-387-94785-X