Эффективное действие - Effective action

В квантовая теория поля, то эффективное действие это модифицированное выражение для действие, который учитывает квантово-механический исправления, в следующем смысле:

В классическая механика, то уравнения движения может быть получено из действие посредством принцип стационарного действия. Это не так в квантовая механика, где амплитуды всех возможных движений складываются в интеграл по путям. Однако если действие заменяется эффективным действием, уравнения движения для ожидаемые значения вакуума из поля может быть получено из требования, чтобы эффективное действие было стационарным. Например, поле ${\displaystyle \phi }$ с потенциал ${\displaystyle V(\phi )}$, при низкой температуре не оседает в местный минимум из ${\displaystyle V(\phi )}$, но в локальном минимуме эффективный потенциал что можно прочитать из эффективного действия.

Кроме того, эффективное действие можно использовать вместо действия при вычислении корреляционные функции, и тогда следует учитывать только одночастичные неприводимые корреляционные функции.

Математические детали

Все, что описано в следующей статье, также относится к статистическая механика. Однако знаки и множители i в этом случае другие.

Учитывая функция распределения Z[J] с точки зрения исходное поле J, функционал энергии является ее логарифмом.

${\displaystyle E[J]=i\ln Z[J]}$

Некоторые физики используют W вместо, W = −E. Видеть подписывать соглашения

За системы с двумячастица взаимодействия, вышесказанное Диаграммы Фейнмана возникают в первую очередь в расширение возмущения обоих Z и E. Разложение по возмущениям для Z состоит из всех замкнутых диаграмм, а разложение по возмущениям для E состоит из всех схем, как замкнутых, так и связанных.

Во многих областях математики и теория информации, включая статистическую механику, пишут функция распределения в качестве

${\displaystyle E[J]=-\ln Z[J]\,}$

Как только Z интерпретируется как производящий функционал (он же характеристическая функция (al) /момент-производящая функция (al) из функция распределения вероятностей (al) е^−S[φ]/Z) из заказанное время VEV /Функция Швингера (он же моменты ) (видеть формулировка интеграла по путям ), E (он же вторая характеристическая функция (al) /кумулянт-производящая функция (al)) является генератором «подключенного» заказанное время VEV / связные функции Швингера (т.е. кумулянты ), где здесь связное, интерпретируется в смысле теорема кластерного разложения что означает, что эти функции стремятся к нулю на больших пространственноподобных расстояниях или в приближениях, использующих Диаграммы Фейнмана, связанные компоненты графа.

${\displaystyle \langle \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\rangle _{\mathrm {con} }=(-i)^{n+1}\left.{\frac {\delta ^{n}E}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{n})}}\right|_{J=0}}$

или же

${\displaystyle \langle \phi ^{i_{1}}\cdots \phi ^{i_{n}}\rangle _{\text{con}}=(-i)^{n+1}E^{,i_{1}\dots i_{n}}|_{J=0}}$

в обозначение де Витта

Затем п-точечная корреляционная функция - это сумма по всем возможным разделам полей, входящих в продукт, на произведения связанных корреляционных функций. Чтобы пояснить на примере,

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \langle \phi (x_{1})\phi (x_{2})\phi (x_{3})\rangle \\&=\langle \phi (x_{1})\phi (x_{2})\phi (x_{3})\rangle _{\text{con}}+\langle \phi (x_{1})\phi (x_{2})\rangle _{\text{con}}\langle \phi (x_{3})\rangle _{\text{con}}+\langle \phi (x_{1})\phi (x_{3})\rangle _{\text{con}}\langle \phi (x_{2})\rangle _{\text{con}}\\&+\langle \phi (x_{1})\rangle _{\text{con}}\langle \phi (x_{2})\phi (x_{3})\rangle _{\text{con}}+\langle \phi (x_{1})\rangle _{\text{con}}\langle \phi (x_{2})\rangle _{\text{con}}\langle \phi (x_{3})\rangle _{\text{con}}\end{aligned}}}$

Предполагая E это выпуклый функциональный (Что спорно), то Превращение Лежандра дает взаимно однозначное соответствие между конфигурационное пространство всех исходных полей и его двойное векторное пространство, конфигурационное пространство всех φ полей. Если E не выпуклый, возьмем Конъюгат фенхеля вместо. φ здесь классическое поле, а не квантовый оператор поля.

Немного необычный подписывать соглашения для преобразований Лежандра значение

${\displaystyle \phi =-{\delta \over \delta J}E[J]}$

или же

${\displaystyle \phi ^{i}=-E^{,i}\,}$

связан с J. Это согласуется с заказанное время VEV <φ>_J. Преобразование Лежандра E это эффективное действие (это соответствует функция оценки, какой Конъюгат фенхеля из кумулянт-производящая функция, обычная конструкция в статистика; например то Граница Чернова )

${\displaystyle \Gamma [\phi ]=-\langle J,\phi \rangle -E[J]\,}$

или же

${\displaystyle \Gamma [\phi ]=-J_{i}\phi ^{i}-E[J]\,}$

куда

${\displaystyle \phi =-{\delta \over \delta J}E[J]}$

и

${\displaystyle J=-{\delta \over \delta \phi }\Gamma [\phi ]}$

или же

${\displaystyle J_{i}=-\Gamma _{,i}.\,}$

Однако есть некоторые предостережения, главная из которых состоит в том, что у нас нет истинного взаимно-однозначного соответствия между двойными конфигурационными пространствами.

Уравнение Дайсона, связывающее полный пропагатор, голый пропагатор и собственную энергию 1PI в отсутствие головастиков

Рассмотрим сначала случай без головастики, т.е. ${\displaystyle \langle \phi \rangle =0}$ для J = 0. В этом случае Γ [0] дает нулевую энергию, первую функциональная производная функции Γ при φ = 0 равна нулю, вторая функциональная производная дает обратное значение для полного пропагатора, а п^th функциональная производная для п ≥ 3 дает одночастичные неприводимые корреляционные функции или же Корреляционные функции 1PI. В Уравнение Дайсона связывает полный пропагатор, голый пропагатор и собственную энергию 1PI. В п-точечно связные функции заданы как сумма по всем деревьям с п ≥ 3 1PI в виде узлов и полных пропагаторов в виде ребер.

Но что, если у нас есть головастики? Мы всегда можем настроить источник J так, чтобы не было головастиков, т.е. ${\displaystyle \langle \phi \rangle =0}$. Это соответствует добавлению правила Фейнмана, соответствующего связи с источником. Для любой диаграммы Фейнмана подзаголовок - это подграф, соответствующий компоненту, не связанному ни с одной из внешних ветвей, который возникает после обрезки кромки. Любая диаграмма Фейнмана с подзаголовком может быть оценена как ненулевая, но мы можем сгруппировать эти диаграммы в классы эквивалентности (две связанные диаграммы эквивалентны, если они различаются только своими подзаголовками). Поэтому нам нужно только рассмотреть сумму всех связных графов без подтадполей. Сумма по всем графам в классе эквивалентности с подтадполями равна нулю, так как J настроен так, чтобы ${\displaystyle \langle \phi \rangle =0}$. Любой граф без подзадачков не содержит никаких связей с источником. Разложение Тейлора эффективного действия о φ = 0 дает 1PI, соответствующий этим значениям источника в соответствии с правилами предыдущего абзаца. Итак, мы вычисляем 1PI, чтобы получить серию Тейлора о ${\displaystyle \langle \phi \rangle =0}$. Затем из эффективного действия, которое мы получаем из ряда Тейлора, мы находим значение φ, которое минимизирует эффективное действие. Это дает нам VEV φ, когда J = 0. Затем мы теперь выполняем разложение в ряд Тейлора вокруг этой VEV после сдвига поля φ к новому переопределению поля ${\displaystyle \phi '=\phi -\langle \phi \rangle }$ (это метод фонового поля ). Теперь мы можем вычислить п-точечные корреляции о J = 0 вакуум.

Однопетлевое приближение

Однопетлевое приближение к эффективному (евклидову) действию имеет вид

${\displaystyle \Gamma [\varphi ]=S[\varphi ]+{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[\ln {S^{(2)}[\varphi ]}\right]+\cdots .}$

куда ${\displaystyle \varphi }$ VEV лежащих в основе квантовых полей ${\displaystyle \phi }$, и ${\displaystyle S^{(2)}[\varphi ]}$ - вторая функциональная производная от классического действия, вычисленная при классической конфигурации поля ${\displaystyle \phi =\varphi }$.

${\displaystyle S^{(2)}[\varphi ]:=\left.\left({\frac {\delta ^{2}\,S[\phi ]}{\delta \phi (x)\,\delta \phi (y)}}\right)\right|_{\phi =\varphi }}$

Обратите внимание, что наличие пространственных индексов в правой части приведенного выше выражения, но отсутствие пространственных индексов в левой части, не является проблемой. Формально они должны присутствовать в функциональной производной, но в конечном итоге они суммируются трассировкой. Вот почему они подавлены в левой части.

Рекомендации

• Голдстоун, Джеффри; Салам, Абдус; Вайнберг, Стивен (1 июля 1962 г.). «Нарушенные симметрии». Физический обзор. Американское физическое общество (APS). 127 (3): 965–970. Дои:10.1103 / Physrev.127.965. ISSN  0031-899X.
• Йона-Лазинио, Г. (1964). «Релятивистские теории поля с решениями, нарушающими симметрию» (PDF). Il Nuovo Cimento. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 34 (6): 1790–1795. Дои:10.1007 / bf02750573. ISSN  0029-6341.
• С.Вайнберг: Квантовая теория полей, Том II, Издательство Кембриджского университета 1996 г.
• Ди Джей Томс: Принцип действия Швингера и эффективное действие, Cambridge University Press 2007 г.