Эластичная карта - Elastic map

«Эластичная сетка» перенаправляется сюда. О методе статистической регуляризации см. Упругая сетевая регуляризация.

Линейные PCA против нелинейных главных многообразий^[1] за визуализация из рак молочной железы микрочип данные: a) Конфигурация узлов и 2D главной поверхности в линейном многообразии 3D PCA. Набор данных изогнут и не может быть адекватно отображен на главной двумерной плоскости; б) Распределение во внутренних 2D нелинейных координатах главной поверхности (ELMap2D) вместе с оценкой плотности точек; c) То же, что и b), но для линейного 2D-коллектора PCA (PCA2D). «Базальный» подтип рака груди более адекватно визуализируется с помощью ELMap2D, а некоторые особенности распределения становятся лучше разрешенными по сравнению с PCA2D. Основные коллекторы производятся эластичная картаалгоритм s. Данные доступны для публичного конкурса.^[2] Программное обеспечение доступно для бесплатного некоммерческого использования.^[3][4]

Эластичные карты предоставить инструмент для уменьшение нелинейной размерности. По своей конструкции они представляют собой систему упругих пружины встроены в пространство данных.^[1] Эта система аппроксимирует низкоразмерное многообразие. Коэффициенты упругости этой системы позволяют перейти от полностью неструктурированной k-означает кластеризацию (нулевая эластичность) к оценкам, близким к линейным Коллекторы PCA (для модулей с высоким изгибом и низким растяжением). При некоторых промежуточных значениях коэффициенты эластичности эта система эффективно аппроксимирует нелинейные главные многообразия. Этот подход основан на механический аналогия между главными коллекторами, проходящими через «середину» распределения данных, и эластичными мембранами и пластинами. Метод был разработан А.Н. Горбань, А.Ю. Зиновьев и А.А. Питенко в 1996–1998 гг.

Энергия упругой карты

Позволять ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ быть набором данных в конечномерном Евклидово пространство. Эластичная карта представлена ​​набором узлов ${\displaystyle {\bf {w}}_{j}}$ в том же пространстве. Каждая точка данных ${\displaystyle s\in {\mathcal {S}}}$ имеет узел хоста, а именно ближайший узел ${\displaystyle {\bf {w}}_{j}}$ (если есть несколько ближайших узлов, берется узел с наименьшим номером). Набор данных ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ делится на классы ${\displaystyle K_{j}=\{s\ |\ {\bf {w}}_{j}{\mbox{ is a host of }}s\}}$.

В энергия приближения D - искажение

${\displaystyle D={\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{k}\sum _{s\in K_{j}}\|s-{\bf {w}}_{j}\|^{2}}$,

что представляет собой энергию пружин с единичной упругостью, которые соединяют каждую точку данных с ее хост-узлом. К условиям этой суммы можно применять весовые коэффициенты, например, чтобы отразить стандартное отклонение из функция плотности вероятности любого подмножества точек данных ${\displaystyle \{s_{i}\}}$.

На множестве узлов определяется дополнительная структура. Несколько пар узлов, ${\displaystyle ({\bf {w}}_{i},{\bf {w}}_{j})}$, связаны эластичные края. Назовите этот набор пар ${\displaystyle E}$. Некоторые тройки узлов, ${\displaystyle ({\bf {w}}_{i},{\bf {w}}_{j},{\bf {w}}_{k})}$, форма изгиб ребра. Назовите этот набор троек ${\displaystyle G}$.

Энергия растяжения ${\displaystyle U_{E}={\frac {1}{2}}\lambda \sum _{({\bf {w}}_{i},{\bf {w}}_{j})\in E}\|{\bf {w}}_{i}-{\bf {w}}_{j}\|^{2}}$,

Энергия изгиба равна ${\displaystyle U_{G}={\frac {1}{2}}\mu \sum _{({\bf {w}}_{i},{\bf {w}}_{j},{\bf {w}}_{k})\in G}\|{\bf {w}}_{i}-2{\bf {w}}_{j}+{\bf {w}}_{k}\|^{2}}$,

куда ${\displaystyle \lambda }$ и ${\displaystyle \mu }$ - модули растяжения и изгиба соответственно. Энергию растяжения иногда называют мембрана, а энергия изгиба называется тонкая пластина срок.^[5]

Например, в двухмерной прямоугольной сетке упругие кромки - это просто вертикальные и горизонтальные кромки (пары ближайших вершин), а ребра изгиба - это вертикальные или горизонтальные тройки последовательных (ближайших) вершин.

Таким образом, полная энергия упругой карты равна ${\displaystyle U=D+U_{E}+U_{G}.}$

Положение узлов ${\displaystyle \{{\bf {w}}_{j}\}}$ определяется механическое равновесие упругой карты, то есть ее расположение таково, что она минимизирует полную энергию ${\displaystyle U}$.

Алгоритм ожидания-максимизации

Для данного разбиения набора данных ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ в классах ${\displaystyle K_{j}}$, минимизация квадратичного функционала ${\displaystyle U}$ - линейная задача с разреженной матрицей коэффициентов. Следовательно, аналогично Анализ главных компонентов или же k-означает, используется метод разбиения:

• Для данного ${\displaystyle \{{\bf {w}}_{j}\}}$ найти ${\displaystyle \{K_{j}\}}$;
• Для данного ${\displaystyle \{K_{j}\}}$ свести к минимуму ${\displaystyle U}$ и найти ${\displaystyle \{{\bf {w}}_{j}\}}$;
• Если нет изменений, прекратить.

Этот алгоритм максимизации ожидания гарантирует местный минимум ${\displaystyle U}$. Для улучшения аппроксимации предлагаются различные дополнительные методы. Например, смягчение стратегия используется. Эта стратегия начинается с жестких сеток (небольшая длина, небольшой изгиб и большие модули упругости).${\displaystyle \lambda }$ и ${\displaystyle \mu }$ коэффициентов) и отделка мягкой сеткой (мелкая ${\displaystyle \lambda }$ и ${\displaystyle \mu }$). Обучение проходит в несколько эпох, каждая эпоха имеет свою жесткость сетки. Еще одна адаптивная стратегия: растущая сеть: каждый начинает с небольшого количества узлов и постепенно добавляет новые узлы. Каждая эпоха имеет свое количество узлов.

Приложения

Применение основных кривых, построенных методом упругих карт: Нелинейный индекс качества жизни.^[6] Точки представляют данные ООН 171 страна в 4-х мерном пространстве, образованном значениями 4 показателей: валовой продукт на душу населения, продолжительность жизни, младенческая смертность, туберкулез заболеваемость. Разные формы и цвета соответствуют разным географическим местам и годам. Красная жирная линия представляет главная кривая, аппроксимируя набор данных.

Наиболее важные применения метода и бесплатное программное обеспечение^[3] в биоинформатике^[7][8] для исследовательского анализа данных и визуализации многомерных данных, для визуализации данных в экономике, социальных и политических науках,^[9] как вспомогательный инструмент для картографирования данных в географических информационных системах и для визуализации данных различной природы.

Этот метод применяется в количественной биологии для восстановления искривленной поверхности листа дерева из стопки изображений световой микроскопии.^[10] Эта реконструкция используется для количественной оценки геодезический расстояния между трихомы и их формирование, которое является маркером способности растения противостоять патогенам.

В последнее время метод адаптирован в качестве вспомогательного инструмента в процессе принятия решений, лежащих в основе выбора, оптимизации и управления финансовые портфели.^[11]

Метод упругих карт систематически апробировался и сравнивался с несколькими машинное обучение методы по прикладной задаче идентификации режима течения газожидкостный поток в трубе.^[12] Существуют различные режимы: Однофазный поток воды или воздуха, Пузырьковый поток, Пузырьковый поток, Снарядный поток, Снарядно-сливной поток, Перекачиваемый поток, Перемешивающий поток и кольцевой поток. Самый простой и распространенный метод определения режима потока - визуальное наблюдение. Однако этот подход субъективен и не подходит для относительно высоких расходов газа и жидкости. Поэтому методы машинного обучения предлагают многие авторы. Эти методы применяются к данным о дифференциальном давлении, собранным в процессе калибровки. Метод эластичных карт предоставил двухмерную карту, на которой представлена ​​область каждого режима. Сравнение с некоторыми другими методами машинного обучения представлено в таблице 1 для различных диаметров трубы и давления.

ТАБЛИЦА 1. Точность определения режима потока (%)
различных алгоритмов машинного обучения

	Калибровка	Тестирование	Больший диаметр	Более высокое давление
Эластичная карта	100	98.2	100	100
АННА	99.1	89.2	76.2	70.5
SVM	100	88.5	61.7	70.5
SOM (маленький)	94.9	94.2	83.6	88.6
SOM (большой)	100	94.6	82.1	84.1

Здесь ИНС означает обратное распространение искусственные нейронные сети, SVM означает Машина опорных векторов, SOM для самоорганизующиеся карты. Гибридная технология была разработана для инженерных приложений.^[13] В этой технологии эластичные карты используются в сочетании с Анализ главных компонентов (PCA), Независимый анализ компонентов (ICA) и ИНС с обратным распространением.

Учебник^[14] обеспечивает систематическое сравнение эластичных карт и самоорганизующиеся карты (SOM) в приложениях для принятия экономических и финансовых решений.

Рекомендации

1. Горбань А.Н., Зиновьев А.Ю., Основные графы и многообразия, В: Справочник по исследованиям приложений и тенденций машинного обучения: алгоритмы, методы и методы, Olivas E.S. и другие. Ред. Справочник по информационным наукам, IGI Global: Hershey, PA, USA, 2009. 28–59.
2. Ван, Ю., Клин, Дж. Г., Чжан, Ю., Сивертс, А. М., Смотри, М. П., Ян, Ф., Талантов, Д., Тиммерманс, М., Мейер-ван Гельдер, М. Е., Ю, Дж. .: Профили экспрессии генов для прогнозирования отдаленных метастазов первичного рака молочной железы без лимфоузлов. Lancet 365, 671–679 (2005); Данные онлайн
3. А. Зиновьев, ВиДаЭксперт - Средство визуализации многомерных данных (бесплатно для некоммерческого использования). Institut Curie, Париж.
4. А. Зиновьев, Обзор ViDaExpert, IHES (Institut des Hautes Études Scientifiques ), Бюрес-сюр-Иветт, Иль-де-Франс.
5. Майкл Касс, Эндрю Уиткин, Деметри Терзопулос, Змеи: модели активного контура, Int.J. Компьютерное зрение, 1988, том 1-4, стр. 321-331
6. А. Н. Горбань, А. Зиновьев, Основные многообразия и графы на практике: от молекулярной биологии к динамическим системам, Международный журнал нейронных систем, Vol. 20, № 3 (2010) 219–232.
7. А.Н. Горбань, Б. Кегль, Д. Вунш, А. Зиновьев (ред.), Основные многообразия для визуализации данных и уменьшения размерности, LNCSE 58, Springer: Берлин - Гейдельберг - Нью-Йорк, 2007. ISBN  978-3-540-73749-0
8. М. Чакон, М. Левано, Х. Альенде, Х. Новак, Обнаружение экспрессии генов в микрочипах с применением итеративно эластичной нейронной сети, В: Б. Беличинский и др. (Eds.), Lecture Notes in Computer Sciences, Vol. 4432, Springer: Berlin - Heidelberg 2007, 355–363.
9. А. Зиновьев, Визуализация данных в политических и социальных науках, В: SAGE «Международная энциклопедия политологии», Бади, Б., Берг-Шлоссер, Д., Морлино, Л.А. (ред.), 2011.
10. Х. Файльмезгер, Б. Джегле, А. Шредер, М. Хюльскамп, А. Треш., Полуавтоматическая трехмерная реконструкция листа и анализ структуры трихом по изображениям под световым микроскопом, PLoS Computational Biology, 2013, 9 (4): e1003029.
11. М. Реста, Оптимизация портфеля с помощью эластичных карт: некоторые свидетельства итальянской фондовой биржи, Интеллектуальные информационные и инженерные системы, основанные на знаниях, Б. Аполлони, Р.Дж. Хоулетт и Л. Джейн (ред.), Lecture Notes in Computer Science, Vol. 4693, Springer: Berlin - Heidelberg, 2010, 635-641.
12. Х. Шабан, С. Тавуларис, Определение режима течения в вертикальном восходящем потоке воздух-вода в трубопроводе с использованием сигналов перепада давления и упругих карт, Международный журнал многофазных потоков 61 (2014) 62-72.
13. Х. Шабан, С. Тавуларис, Измерение расхода газа и жидкости в двухфазных трубопроводах с применением методов машинного обучения к сигналам дифференциального давления, Международный журнал многофазных потоков 67 (2014), 106-117
14. М. Реста, Парадигмы вычислительного интеллекта в принятии экономических и финансовых решений, Справочная библиотека интеллектуальных систем, том 99, Springer International Publishing, Швейцария, 2016.