Трехчленные кривые Элкиса - Elkies trinomial curves

Трехчленная кривая Элкиса C₁₆₈

В теория чисел, то Трехчленные кривые Элкиса уверены гиперэллиптические кривые построенный Ноам Элкис которые обладают тем свойством, что рациональные точки на них соответствуют трехчленным многочленам, дающим продолжение Q с особым Группы Галуа.

Одна кривая, C₁₆₈, дает группу Галуа PSL (2,7) от полинома седьмой степени, а другой C₁₃₄₄, дает группу Галуа AL (8), полупрямой продукт из 2-элементная группа порядка восьмого, на который действует PSL (2, 7), что дает транзитивную подгруппу перестановок симметрической группы на восьми корнях порядка 1344.

Уравнение кривой C₁₆₈ является

${displaystyle y^{2}=x(81x^{5}+396x^{4}+738x^{3}+660x^{2}+269x+48)}$

Кривая - это плоская алгебраическая кривая модель для Резольвента Галуа для трехчленного полиномиального уравнения x⁷ + bx + c = 0. Если существует точка (x, y) на (проективизированной) кривой, существует соответствующая пара (b, c) рациональных чисел, такая, что трехчленный многочлен либо множит, либо имеет группу Галуа PSL (2,7) конечная простая группа порядка 168. Кривая имеет род два, и так Теорема Фальтингса на нем есть только конечное число рациональных точек. Эти рациональные моменты были доказаны Нильсом Бруином с помощью компьютерной программы. Каш быть единственными на C₁₆₈, и они дают только четыре различных трехчлена с группой Галуа PSL (2,7): x⁷-7x + 3 (многочлен Тринкса), (1/11) x⁷-14x + 3² (многочлен Эрбаха-Фишера-Маккея) и два новых многочлена с группой Галуа PSL (2,7),

${displaystyle 37^{2}x^{7}-28x+3^{2}}$

и

${displaystyle (499^{2}/113)x^{7}-212x+3^{4}}$.

С другой стороны, уравнение кривой C₁₃₄₄ является

${displaystyle y^{2}=2x^{6}+4x^{5}+36x^{4}+16x^{3}-45x^{2}+190x+1241}$

И снова род два, и Теорема Фальтингса список рациональных точек конечен. Считается, что единственные рациональные точки на нем соответствуют многочленам x⁸+ 16x + 28, х⁸+ 576x + 1008, 19⁴53x⁸+ 19x + 2, которые имеют группу Галуа AL (8), и x⁸+ 324x + 567, который исходит из двух различных рациональных точек и снова имеет группу Галуа PSL (2, 7), на этот раз как группу Галуа многочлена восьмой степени.

Рекомендации

• Брюин, Нильс; Лось, Ноам (2002). "Трехчлены топор⁷+bx+c и топор⁸+bx+c с группами Галуа порядка 168 и 8⋅168 ". Алгоритмическая теория чисел: 5-й международный симпозиум, ANTS-V. Конспект лекций по информатике, т. 2369, Springer-Verlag. С. 172–188. МИСТЕР  2041082.

• Erbach, D. W .; Фишер, Дж .; Маккей, Дж. (1979). «Полиномы с PSL (2,7) как группой Галуа». Журнал теории чисел. 11 (1): 69–75. Дои:10.1016 / 0022-314X (79) 90020-9. МИСТЕР  0527761.