Эллиптическая сумма Гаусса - Elliptic Gauss sum

В математике эллиптическая сумма Гаусса является аналогом Сумма Гаусса в зависимости от эллиптическая кривая с комплексным умножением. В квадратичный вычет символ в сумме Гаусса заменяется символом более высокого остатка, таким как символ кубического или четвертого остатка, а экспоненциальная функция в сумме Гаусса заменяется символом эллиптическая функция.Они были представлены Эйзенштейн (1850 ), по крайней мере, в случае лемнискаты, когда эллиптическая кривая имеет комплексное умножение на $я$ , но, похоже, были забыты или проигнорированы до тех пор, пока статья (Щепотка 1988 ).

Пример

(Леммермейер 2000, 9.3) дает следующий пример эллиптической суммы Гаусса для случая эллиптической кривой с комплексным умножением на $я$ .

{ displaystyle - sum _ {t} chi (t) varphi left ({ frac {t} { pi}} right) ^ { frac {p-1} {m}}}

куда

Сумма превышает остатки по модулю $п$ представители которого являются целыми гауссовскими
$п$ положительное целое число
$м$ положительное целое число, делящее $4 п$
$п = 4 п + 1$ рациональное простое число, конгруэнтное 1 по модулю 4
$φ (z) = sl ((1 - я) ωz)$ куда $сл$ это синусоидальная функция лемнискаты, эллиптическая функция.
$χ$ это $м$ символ остатка степени в $K$ относительно простого $п$ из $K$
$K$ это поле $k [ζ]$
$k$ это поле $ℚ [я]$
$ζ$ примитивный $4 п$ корень th из 1
$π$ является первичным простым числом целых гауссовских чисел $ℤ [я]$ с нормой $п$
$п$ простое число в кольце целых чисел $K$ лежащий выше $π$ со степенью инерции 1

Эллиптическая сумма Гаусса - Elliptic Gauss sum

Пример

Рекомендации