Эллиптическое уравнение в частных производных - Elliptic partial differential equation

Линейная второго порядка уравнения в частных производных (PDE) классифицируются как эллиптический, гиперболический, или параболический. Любые линейные уравнения в частных производных второго порядка от двух переменных можно записать в виде

${\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+Fu+G=0,\,}$

где А, B, C, D, E, F, и г являются функциями Икс и у и где ${\displaystyle u_{x}={\frac {\partial u}{\partial x}}}$ и аналогично для ${\displaystyle u_{xx},u_{y},u_{yy},u_{xy}}$. УЧП, записанное в этой форме, будет эллиптическим, если

${\displaystyle B^{2}-AC<0,}$

с этим соглашением об именах, вдохновленным уравнением для плоский эллипс.

Простейшими нетривиальными примерами эллиптических уравнений в частных производных являются Уравнение лапласа, ${\displaystyle \Delta u=u_{xx}+u_{yy}=0}$, а Уравнение Пуассона, ${\displaystyle \Delta u=u_{xx}+u_{yy}=f(x,y).}$ В некотором смысле, любое другое эллиптическое уравнение в частных производных от двух переменных можно рассматривать как обобщение одного из этих уравнений, поскольку его всегда можно представить в канонической форме

${\displaystyle u_{xx}+u_{yy}+{\text{ (lower-order terms)}}=0}$

через замену переменных.^[1][2]

Качественное поведение

Эллиптические уравнения не имеют реальных характеристических кривых, кривых, вдоль которых невозможно исключить хотя бы одну вторую производную от ${\displaystyle u}$ из условий Задача Коши.^[1] Поскольку характеристические кривые - единственные кривые, вдоль которых решения уравнений в частных производных с гладкими параметрами могут иметь разрывные производные, решения эллиптических уравнений не могут иметь разрывных производных где-либо. Это означает, что эллиптические уравнения хорошо подходят для описания состояний равновесия, в которых любые разрывы уже сглажены. Например, мы можем получить уравнение Лапласа из уравнение теплопроводности ${\displaystyle u_{t}=\Delta u}$ установив ${\displaystyle u_{t}=0}$. Это означает, что уравнение Лапласа описывает стационарное состояние уравнения теплопроводности.^[2]

В параболических и гиперболических уравнениях характеристики описывают линии, по которым перемещается информация о начальных данных. Поскольку эллиптические уравнения не имеют реальных характеристических кривых, нет смысла в распространении информации для эллиптических уравнений. Это делает эллиптические уравнения более подходящими для описания статических, а не динамических процессов.^[2]

Вывод канонической формы

Мы выводим каноническую форму для эллиптических уравнений с двумя переменными: ${\displaystyle u_{xx}+u_{xy}+u_{yy}+{\text{ (lower-order terms)}}=0}$.

${\displaystyle \xi =\xi (x,y)}$ и ${\displaystyle \eta =\eta (x,y)}$.

Если ${\displaystyle u(\xi ,\eta )=u[\xi (x,y),\eta (x,y)]}$, применение цепного правила один раз дает

${\displaystyle u_{x}=u_{\xi }\xi _{x}+u_{\eta }\eta _{x}}$ и ${\displaystyle u_{y}=u_{\xi }\xi _{y}+u_{\eta }\eta _{y}}$,

второе приложение дает

${\displaystyle u_{xx}=u_{\xi \xi }{\xi ^{2}}_{x}+u_{\eta \eta }{\eta ^{2}}_{x}+2u_{\xi \eta }\xi _{x}\eta _{x}+u_{\xi }\xi _{xx}+u_{\eta }\eta _{xx},}$

${\displaystyle u_{yy}=u_{\xi \xi }{\xi ^{2}}_{y}+u_{\eta \eta }{\eta ^{2}}_{y}+2u_{\xi \eta }\xi _{y}\eta _{y}+u_{\xi }\xi _{yy}+u_{\eta }\eta _{yy},}$ и

${\displaystyle u_{xy}=u_{\xi \xi }\xi _{x}\xi _{y}+u_{\eta \eta }\eta _{x}\eta _{y}+u_{\xi \eta }(\xi _{x}\eta _{y}+\xi _{y}\eta _{x})+u_{\xi }\xi _{xy}+u_{\eta }\eta _{xy}.}$

Мы можем заменить наши УЧП в x и y эквивалентным уравнением в ${\displaystyle \xi }$ и ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle au_{\xi \xi }+2bu_{\xi \eta }+cu_{\eta \eta }{\text{ + (lower-order terms)}}=0,\,}$

где

${\displaystyle a=A{\xi _{x}}^{2}+2B\xi _{x}\xi _{y}+C{\xi _{y}}^{2},}$

${\displaystyle b=2A\xi _{x}\eta _{x}+2B(\xi _{x}\eta _{y}+\xi _{y}\eta _{x})+2C\xi _{y}\eta _{y},}$ и

${\displaystyle c=A{\eta _{x}}^{2}+2B\eta _{x}\eta _{y}+C{\eta _{y}}^{2}.}$

Чтобы преобразовать нашу PDE в желаемую каноническую форму, мы ищем ${\displaystyle \xi }$ и ${\displaystyle \eta }$ такой, что ${\displaystyle a=c}$ и ${\displaystyle b=0}$. Это дает нам систему уравнений

${\displaystyle a-c=A({\xi _{x}}^{2}-{\eta _{x}}^{2})+2B(\xi _{x}\xi _{y}-\eta _{x}\eta _{y})+C({\xi _{y}}^{2}-{\eta _{y}}^{2})=0}$

${\displaystyle b=0=2A\xi _{x}\eta _{x}+2B(\xi _{x}\eta _{y}+\xi _{y}\eta _{x})+2C\xi _{y}\eta _{y},}$

Добавление ${\displaystyle i}$ умножить второе уравнение на первое и установить ${\displaystyle \phi =\xi +i\eta }$ дает квадратное уравнение

${\displaystyle A{\phi _{x}}^{2}+2B\phi _{x}\phi _{y}+C{\phi _{y}}^{2}=0.}$

Поскольку дискриминант ${\displaystyle B^{2}-AC<0}$, это уравнение имеет два различных решения:

${\displaystyle {\phi _{x}},{\phi _{y}}={\frac {B\pm i{\sqrt {AC-B^{2}}}}{A}}}$

которые являются комплексно сопряженными. Выбирая любое решение, мы можем решить для ${\displaystyle \phi (x,y)}$и восстановить ${\displaystyle \xi }$ и ${\displaystyle \eta }$ с преобразованиями ${\displaystyle \xi =\operatorname {Re} \phi }$ и ${\displaystyle \eta =\operatorname {Im} \phi }$. поскольку ${\displaystyle \eta }$ и ${\displaystyle \xi }$ удовлетворит ${\displaystyle a-c=0}$ и ${\displaystyle b=0}$, поэтому при замене переменных с x и y на ${\displaystyle \eta }$ и ${\displaystyle \xi }$ преобразует PDE

${\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+Fu+G=0,\,}$

в каноническую форму

${\displaystyle u_{\xi \xi }+u_{\eta \eta }+{\text{ (lower-order terms)}}=0,}$

по желанию.

В высших измерениях

Общее уравнение в частных производных второго порядка в п переменные принимают вид

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\;{\text{ + (lower-order terms)}}=0.}$

Это уравнение считается эллиптическим, если нет характеристических поверхностей, т.е. поверхностей, вдоль которых невозможно исключить хотя бы одну вторую производную от ты из условий Задача Коши.^[1]

В отличие от двумерного случая это уравнение, вообще говоря, не может быть приведено к простому каноническому виду.^[2]

Смотрите также

• Эллиптический оператор
• Гиперболическое уравнение в частных производных
• Параболическое уравнение в частных производных
• PDE второго порядка (для более полного обсуждения)

использованная литература

1. Пинчовер, Иегуда; Рубинштейн, Якоб (2005). Введение в уравнения с частными производными. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-84886-2.
2. Заудерер, Эрих (1989). Уравнения в частных производных прикладной математики. Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. ISBN  0-471-61298-7.

внешние ссылки

• «Эллиптическое уравнение в частных производных», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• «Эллиптическое уравнение в частных производных, численные методы», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Эллиптическое уравнение с частными производными». MathWorld.