Постоянная Эмбри – Трефетена - Embree–Trefethen constant

В теория чисел, то Постоянная Эмбри – Трефетена это пороговое значение, обозначенное β * ≈ 0.70258.^[1]

Для фиксированного положительного числа βрассмотрим отношение повторения

{ displaystyle x_ {n + 1} = x_ {n} pm beta x_ {n-1} ,}

где знак суммы выбирается случайным образом для каждого п независимо с равными вероятностями для «+» и «-». Это обобщение случайная последовательность Фибоначчи к ценностям β ≠ 1.

Доказано, что при любом выборе β, предел

{ displaystyle sigma ( beta) = lim _ {n to infty} (| x_ {n} | ^ {1 / n}) ,}

существуют почти наверняка. Проще говоря, последовательность ведет себя экспоненциально с вероятностью единица, и σ(β) можно интерпретировать как его почти верную скорость экспоненциальный рост.

β * ≈ 0,70258 определяется как пороговое значение, для которого

σ(β) <1 для 0 < β < β *,

поэтому решения этой повторяемости убывают экспоненциально как п → ∞ и

σ(β)> 1 для β > β *,

поэтому они растут в геометрической прогрессии. (В обоих случаях с вероятностью 1.)

Что касается ценностей σ, у нас есть: