Производство энтропии - Entropy production - Wikipedia

Производство энтропии (или генерация) - это количество энтропии, которое производится в любом необратимые процессы^[1] такие как процессы тепломассопереноса, включая движение тел, теплообмен, поток жидкости, расширение или смешивание веществ, неупругую деформацию твердых тел и любой необратимый термодинамический цикл, включая тепловые машины, такие как электростанции, тепловые двигатели, холодильники, тепловые насосы, и Кондиционеры.

В дуальном представлении энтропия -эксергия для учета второго начала термодинамики его можно выразить в эквивалентных терминах нарушение эксергии.

Рудольф Клаузиус

Краткая история

Энтропия образуется в результате необратимых процессов. Важность предотвращения необратимых процессов (а следовательно, уменьшения производства энтропии) была признана еще в 1824 году Карно.^[2] В 1865 г. Рудольф Клаузиус расширил свою предыдущую работу с 1854 г.^[3] о концепции unkompensierte Verwandlungen (некомпенсированных преобразований), которые в нашей современной терминологии можно было бы назвать производством энтропии. В той же статье, в которой он ввел название энтропия,^[4] Клаузиус дает выражение для производства энтропии (для замкнутой системы), которое он обозначает через N, в уравнении (71), которое читается как

${\displaystyle N=S-S_{0}-\int {\frac {dQ}{T}}.}$

Здесь S - энтропия в конечном состоянии, и интеграл должен быть взят от начального состояния к конечному состоянию. Из контекста ясно, что N = 0, если процесс обратимый и N > 0 в случае необратимого процесса.

Первый и второй закон

Рис.1 Общее представление неоднородной системы, состоящей из ряда подсистем. Взаимодействие системы с окружающей средой осуществляется посредством обмена теплом и другими формами энергии, потока материи и изменения формы. Внутренние взаимодействия между различными подсистемами имеют схожий характер и приводят к производству энтропии.

Законы термодинамики системы применимы к четко определенным системам. Рис.1 - это общее представление термодинамической системы. Мы рассматриваем системы, которые в общем случае неоднородны. Тепло и масса передаются через границы (неадиабатические, открытые системы), и границы перемещаются (обычно через поршни). В нашей формулировке мы предполагаем, что тепломассоперенос и изменение объема происходят только отдельно в четко определенных областях границы системы. Приведенные здесь выражения не являются наиболее общими формулировками первого и второго закона. Например. Кинетическая энергия и потенциальная энергия отсутствуют, и обмен вещества путем диффузии исключен.

Скорость производства энтропии, обозначаемая ${\displaystyle {\dot {S}}_{i}}$, является ключевым элементом второго закона термодинамики для открытых неоднородных систем, который гласит

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} t}}=\Sigma _{k}{\frac {{\dot {Q}}_{k}}{T_{k}}}+\Sigma _{k}{\dot {S}}_{k}+\Sigma _{k}{\dot {S}}_{ik}{\text{ with }}{\dot {S}}_{ik}\geq 0.}$

Здесь S - энтропия системы; Т_k - температура, при которой тепловой поток ${\displaystyle {\dot {Q}}_{k}}$ входит в систему; ${\displaystyle {\dot {S}}_{k}={\dot {n}}_{k}S_{mk}={\dot {m}}_{k}s_{k}}$ представляет собой поток энтропии в систему в позиции k, за счет втекающего в систему вещества (${\displaystyle {\dot {n}}_{k},{\dot {m}}_{k}}$ - молярный расход и массовый расход и S_мк и s_k молярная энтропия (т.е. энтропия на моль) и удельная энтропия (т.е. энтропия на единицу массы) вещества, втекающего в систему, соответственно); ${\displaystyle {\dot {S}}_{ik}}$ представляет собой скорость производства энтропии за счет внутренних процессов. Индекс я в ${\displaystyle {\dot {S}}_{ik}}$ относится к тому факту, что энтропия производится из-за необратимых процессов. Скорость производства энтропии в каждом процессе в природе всегда положительна или равна нулю. Это существенный аспект второго закона.

Знаки обозначают алгебраическую сумму соответствующих вкладов, если имеется больше тепловых потоков, потоков материи и внутренних процессов.

Чтобы продемонстрировать влияние второго закона и роль производства энтропии, его необходимо объединить с первым законом, который гласит:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} t}}=\Sigma _{k}{\dot {Q}}_{k}+\Sigma _{k}{\dot {H}}_{k}-\Sigma _{k}p_{k}{\frac {\mathrm {d} V_{k}}{\mathrm {d} t}}+P,}$

с U внутренняя энергия системы; ${\displaystyle {\dot {H}}_{k}={\dot {n}}_{k}H_{mk}={\dot {m}}_{k}h_{k}}$ то энтальпия поступает в систему за счет вещества, поступающего в систему (ЧАС_мк его молярная энтальпия, час_k удельная энтальпия (т.е. энтальпия на единицу массы)), и dV_k/ дт скорости изменения объема системы из-за движущейся границы в положении k пока п_k давление за этой границей; п представляет все другие формы подачи энергии (например, электрические).

Первый и второй закон сформулированы в терминах производных по времени от U и S а не в терминах полных дифференциалов dU и гS где неявно предполагается, что dт > 0. Таким образом, формулировка в терминах производных по времени более элегантна. Однако еще большим преимуществом этой формулировки является то, что она подчеркивает, что тепловой поток и мощность являются основными термодинамическими свойствами, а тепло и работа являются производными величинами, которые представляют собой временные интегралы теплового потока и мощности соответственно.

Примеры необратимых процессов

Энтропия производится в необратимые процессы. Некоторые важные необратимые процессы:

• тепловой поток через тепловое сопротивление
• поток жидкости через сопротивление потоку, например, в Джоулевое расширение или Эффект Джоуля-Томсона
• распространение
• химические реакции
• Джоулевое нагревание
• трение между твердыми поверхностями
• вязкость жидкости в системе.

Выражение для скорости производства энтропии в первых двух случаях будет выведено в отдельных разделах.

Рис.2 а: Принципиальная схема теплового двигателя. Мощность нагрева ${\displaystyle {\dot {Q}}_{H}}$ попадает в двигатель при высокой температуре Т_ЧАС, и ${\displaystyle {\dot {Q}}_{a}}$ выделяется при температуре окружающей среды Т_а. Сила п производится и скорость производства энтропии ${\displaystyle {\dot {S}}_{i}}$. б: Принципиальная схема холодильника. ${\displaystyle {\dot {Q}}_{L}}$ мощность охлаждения при низкой температуре Т_L, и ${\displaystyle {\dot {Q}}_{a}}$ выделяется при температуре окружающей среды. Сила п поставляется и ${\displaystyle {\dot {S}}_{i}}$ - скорость производства энтропии. Стрелки определяют положительные направления потоков тепла и энергии в двух случаях. Они положительные при нормальных условиях эксплуатации.

Производительность тепловых машин и холодильников

Большинство тепловых машин и холодильников - это машины замкнутого цикла.^[5] В установившемся состоянии внутренняя энергия и энтропия машин после одного цикла такие же, как в начале цикла. Следовательно, в среднем dU/ дт = 0 и dS/ дт = 0, поскольку U и S являются функциями государства. Кроме того, это закрытые системы (${\displaystyle {\dot {n}}=0}$), а объем фиксирован (dV/ дт = 0). Это приводит к значительному упрощению первого и второго закона:

${\displaystyle 0=\Sigma _{k}{\dot {Q}}_{k}+P}$

и

${\displaystyle 0=\Sigma _{k}{\frac {{\dot {Q}}_{k}}{T_{k}}}+{\dot {S}}_{i}.}$

Суммирование проводится по (двум) местам, где добавляется или удаляется тепло.

Двигатели

Для тепловой машины (рис. 2а) первый и второй закон имеют вид

${\displaystyle 0={\dot {Q}}_{H}-{\dot {Q}}_{a}-P}$

и

${\displaystyle 0={\frac {{\dot {Q}}_{H}}{T_{H}}}-{\frac {{\dot {Q}}_{a}}{T_{a}}}+{\dot {S}}_{i}.}$

Здесь ${\displaystyle {\dot {Q}}_{H}}$ это тепло, подаваемое при высокой температуре Т_ЧАС, ${\displaystyle {\dot {Q}}_{a}}$ тепло отводится при температуре окружающей среды Т_а, и п мощность двигателя. Устранение ${\displaystyle {\dot {Q}}_{a}}$ дает

${\displaystyle P={\frac {T_{H}-T_{a}}{T_{H}}}{\dot {Q}}_{H}-T_{a}{\dot {S}}_{i}.}$

Эффективность определяется

${\displaystyle \eta ={\frac {P}{{\dot {Q}}_{H}}}.}$

Если ${\displaystyle {\dot {S}}_{i}=0}$ производительность двигателя максимальна, а КПД равен КПД Карно

${\displaystyle \eta _{C}={\frac {T_{H}-T_{a}}{T_{H}}}.}$

Холодильники

Для холодильников (рис. 2б) удерживает

${\displaystyle 0={\dot {Q}}_{L}-{\dot {Q}}_{a}+P}$

и

${\displaystyle 0={\frac {{\dot {Q}}_{L}}{T_{L}}}-{\frac {{\dot {Q}}_{a}}{T_{a}}}+{\dot {S}}_{i}.}$

Здесь п мощность, необходимая для выработки охлаждающей способности ${\displaystyle {\dot {Q}}_{L}}$ при низкой температуре Т_L. Устранение ${\displaystyle {\dot {Q}}_{a}}$ теперь дает

${\displaystyle {\dot {Q}}_{L}={\frac {T_{L}}{T_{a}-T_{L}}}(P-T_{a}{\dot {S}}_{i}).}$

Коэффициент полезного действия холодильников определяется

${\displaystyle \xi ={\frac {{\dot {Q}}_{L}}{P}}.}$

Если ${\displaystyle {\dot {S}}_{i}=0}$ производительность кулера на максимуме. Затем COP определяется как коэффициент производительности Карно.

${\displaystyle \xi _{C}={\frac {T_{L}}{T_{a}-T_{L}}}.}$

Рассеяние мощности

В обоих случаях мы находим вклад ${\displaystyle T_{a}{\dot {S}}_{i}}$ что снижает производительность системы. Это произведение температуры окружающей среды и (средней) скорости производства энтропии ${\displaystyle P_{diss}=T_{a}{\dot {S}}_{i}}$ называется рассеиваемой мощностью.

Эквивалентность другим составам

Интересно исследовать, как указанная выше математическая формулировка второго закона соотносится с другими хорошо известными формулировками второго закона.

Сначала рассмотрим тепловой двигатель, предполагая, что ${\displaystyle {\dot {Q}}_{a}=0}$. Другими словами: тепловой поток ${\displaystyle {\dot {Q}}_{H}}$ полностью превращается в мощность. В этом случае второй закон сводится к

${\displaystyle 0={\frac {{\dot {Q}}_{H}}{T_{H}}}+{\dot {S}}_{i}.}$

С ${\displaystyle {\dot {Q}}_{H}\geq 0}$ и ${\displaystyle T_{H}>0}$ это приведет к ${\displaystyle {\dot {S}}_{i}\leq 0}$ что нарушает условие, что производство энтропии всегда положительно. Следовательно: Невозможен процесс, в котором единственным результатом является поглощение тепла из резервуара и его полное преобразование в работу. Это утверждение второго закона Кельвина.

Теперь посмотрим на корпус холодильника и предположим, что потребляемая мощность равна нулю. Другими словами: тепло передается от низкой температуры к высокой температуре без выполнения каких-либо действий в системе. Первый закон с п = 0 даст

${\displaystyle {\dot {Q}}_{L}={\dot {Q}}_{a}}$

а второй закон дает

${\displaystyle 0={\frac {{\dot {Q}}_{L}}{T_{L}}}-{\frac {{\dot {Q}}_{L}}{T_{a}}}+{\dot {S}}_{i}}$

или же

${\displaystyle {\dot {S}}_{i}={\dot {Q}}_{L}\left({\frac {1}{T_{a}}}-{\frac {1}{T_{L}}}\right).}$

С ${\displaystyle {\dot {Q}}_{L}\geq 0}$ и ${\displaystyle T_{a}>T_{L}}$ это приведет к ${\displaystyle {\dot {S}}_{i}\leq 0}$ что снова нарушает условие, что производство энтропии всегда положительно. Следовательно: Невозможно ни одного процесса, единственным результатом которого является передача тепла от тела с более низкой температурой к телу с более высокой температурой. Это утверждение Клаузиуса второго закона.

Выражения для производства энтропии

Тепловой поток

В случае теплового потока ${\displaystyle {\dot {Q}}}$ из Т₁ к Т₂ (с ${\displaystyle T_{1}\geq T_{2}}$) скорость производства энтропии определяется выражением

${\displaystyle {\dot {S}}_{i}={\dot {Q}}\left({\frac {1}{T_{2}}}-{\frac {1}{T_{1}}}\right).}$

Если тепловой поток находится в стержне длиной L, площадь поперечного сечения А, и теплопроводность κ, а разница температур мала

${\displaystyle {\dot {Q}}=\kappa {\frac {A}{L}}(T_{1}-T_{2})}$

скорость производства энтропии

${\displaystyle {\dot {S}}_{i}=\kappa {\frac {A}{L}}{\frac {(T_{1}-T_{2})^{2}}{T_{1}T_{2}}}.}$

Поток массы

В случае объемного расхода ${\displaystyle {\dot {V}}}$ от давления п₁ к п₂

${\displaystyle {\dot {S}}_{i}=-\int _{p_{1}}^{p_{2}}{\frac {\dot {V}}{T}}\mathrm {d} p.}$

Для небольших перепадов давления и определения проводимости потока C к ${\displaystyle {\dot {V}}=C(p_{1}-p_{2})}$ мы получили

${\displaystyle {\dot {S}}_{i}=C{\frac {(p_{1}-p_{2})^{2}}{T}}.}$

Зависимости ${\displaystyle {\dot {S}}_{i}}$ на (Т₁-Т₂) и на (п₁-п₂) квадратичны.

Это типично для выражений скорости производства энтропии в целом. Они гарантируют, что производство энтропии положительное.

Энтропия смешения

В этом разделе мы рассчитаем энтропия смешения когда два идеальных газа диффундируют друг в друга. Рассмотрим объем V_т разделен на два тома V_а и V_б так что V_т = V_а+V_б. Громкость V_а содержит п_а моль идеального газа а и V_б содержит п_б моль газа б. Общая сумма составляет п_т = п_а+п_б. Температура и давление в двух объемах одинаковы. Энтропия в начале определяется выражением

${\displaystyle S_{t1}=S_{a1}+S_{b1}.}$

Когда разделение между двумя газами устранено, два газа расширяются, что сравнимо с расширением Джоуля-Томсона. В конечном состоянии температура такая же, как и вначале, но теперь оба газа имеют объем V_т. Отношение энтропии п моль идеальный газ

${\displaystyle S=nC_{V}\ln {\frac {T}{T_{0}}}+nR\ln {\frac {V}{V_{0}}}}$

с C_V молярная теплоемкость при постоянном объеме и р молярная постоянная идеального газа. Система является адиабатической замкнутой системой, поэтому увеличение энтропии во время смешения двух газов равно производству энтропии. Это дается

${\displaystyle S_{i}=S_{t2}-S_{t1}.}$

Поскольку начальная и конечная температуры одинаковы, термины температуры не играют роли, поэтому мы можем сосредоточиться на терминах объема. Результат

${\displaystyle S_{i}=n_{a}R\ln {\frac {V_{t}}{V_{a}}}+n_{b}R\ln {\frac {V_{t}}{V_{b}}}.}$

Представляем концентрацию Икс = п_а/п_т = V_а/V_т мы приходим к хорошо известному выражению

${\displaystyle S_{i}=-n_{t}R[x\ln x+(1-x)\ln(1-x)].}$

Джоулевое расширение

В Джоулевое расширение аналогично смешиванию, описанному выше. Это происходит в адиабатической системе, состоящей из газа и двух жестких сосудов (a и b) равного объема, соединенных клапаном. Вначале клапан закрыт. Сосуд (а) содержит газ под высоким давлением, в то время как другой сосуд (b) пуст. Когда клапан открыт, газ перетекает из сосуда (а) в (b) до тех пор, пока давления в двух сосудах не станут равными. Объем, занимаемый газом, удваивается, в то время как внутренняя энергия системы остается постоянной (адиабатическая и работа не выполняется). Если предположить, что газ идеален, молярная внутренняя энергия определяется выражением U_м = C_VТ. В качестве C_V постоянно, постоянно U означает постоянный Т. Молярная энтропия идеального газа как функция молярного объема V_м и Т, дан кем-то

${\displaystyle S_{m}=C_{V}\ln {\frac {T}{T_{0}}}+R\ln {\frac {V_{m}}{V_{0}}}.}$

Система из двух сосудов и газа является закрытой и адиабатической, поэтому производство энтропии во время процесса равно увеличению энтропии газа. Итак, удвоение громкости с Т константа, означает, что производство энтропии на моль газа равно

${\displaystyle S_{mi}=R\ln 2.}$

Микроскопическая интерпретация

Разложение Джоуля дает прекрасную возможность объяснить производство энтропии в статистико-механических (микроскопических) терминах. При расширении объем, который может занимать газ, увеличивается вдвое. Это означает, что для каждой молекулы теперь есть две возможности: она может быть помещена в контейнер a или в контейнер b. Если у нас один моль газа, то количество молекул равно числу Авогадро. N_А. Увеличение микроскопических возможностей составляет 2 раза на молекулу, так что всего в 2 раза.^N_А. Используя известное выражение Больцмана для энтропия

${\displaystyle S_{m}=k\ln \Omega ,}$

с k Постоянная Больцмана и Ω количество микроскопических возможностей для реализации макроскопического состояния дает

${\displaystyle S_{mi}=k\ln(2^{N_{A}})=kN_{A}\ln 2=R\ln 2.}$

Таким образом, при необратимом процессе количество микроскопических возможностей реализовать макроскопическое состояние увеличивается в некоторый раз.

Основные неравенства и условия устойчивости

В этом разделе мы выводим основные неравенства и условия устойчивости замкнутых систем. Для закрытых систем первый закон сводится к

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} t}}={\dot {Q}}-p{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} t}}+P.}$

Второй закон запишем как

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} t}}-{\frac {\dot {Q}}{T}}\geq 0.}$

За адиабатические системы ${\displaystyle {\dot {Q}}=0}$ так dS/ дт ≥ 0. Другими словами: энтропия адиабатических систем не может уменьшаться. В состоянии равновесия энтропия максимальна. Изолированные системы являются частным случаем адиабатических систем, поэтому это утверждение справедливо и для изолированных систем.

Теперь рассмотрим системы с постоянная температура и объем. В большинстве случаев Т это температура окружающей среды, с которой система находится в хорошем тепловом контакте. С V постоянно, первый закон дает ${\displaystyle {\dot {Q}}=\mathrm {d} U/\mathrm {d} t-P}$. Подстановка во втором законе и использование этого Т постоянно, дает

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} (TS)}{\mathrm {d} t}}-{\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} t}}+P\geq 0.}$

Со свободной энергией Гельмгольца, определяемой как

${\displaystyle F=U-TS,}$

мы получили

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} t}}-P\leq 0.}$

Если п = 0 это математическая формулировка того общего свойства, что свободная энергия систем с фиксированной температурой и объемом стремится к минимуму. Выражение может быть интегрировано от начального состояния i до конечного состояния f, в результате чего

${\displaystyle W_{S}\leq F_{i}-F_{f}}$

где W_S работа сделана к система. Если процесс внутри системы полностью обратим, знак равенства сохраняется. Следовательно, максимальная работа, которую можно извлечь из системы, равна свободной энергии начального состояния за вычетом свободной энергии конечного состояния.

Наконец, мы рассматриваем системы с постоянная температура и давление и возьми п = 0. Поскольку п постоянно первые законы дают

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} t}}={\dot {Q}}-{\frac {\mathrm {d} (pV)}{\mathrm {d} t}}.}$

В сочетании со вторым законом и используя это Т постоянно, дает

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} (TS)}{\mathrm {d} t}}-{\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} t}}-{\frac {\mathrm {d} (pV)}{\mathrm {d} t}}\geq 0.}$

Со свободной энергией Гиббса, определяемой как

${\displaystyle G=U+pV-TS,}$

мы получили

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} G}{\mathrm {d} t}}\leq 0.}$

Однородные системы

В гомогенных системах температура и давление четко определены, и все внутренние процессы обратимы. Следовательно ${\displaystyle {\dot {S}}_{i}=0}$. В результате второй закон, умноженный на Т, сводится к

${\displaystyle T{\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} t}}={\dot {Q}}+{\dot {n}}TS_{m}.}$

С п= 0 первый закон принимает вид

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} t}}={\dot {Q}}+{\dot {n}}H_{m}-p{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} t}}.}$

Устранение ${\displaystyle {\dot {Q}}}$ и умножая на dт дает

${\displaystyle \mathrm {d} U=T\mathrm {d} S-p\mathrm {d} V+(H_{m}-TS_{m})\mathrm {d} n.}$

С

${\displaystyle H_{m}-TS_{m}=G_{m}=\mu }$

с грамм_м моляр Свободная энергия Гиббса и μ моляр химический потенциал получаем известный результат

${\displaystyle \mathrm {d} U=T\mathrm {d} S-p\mathrm {d} V+\mu \mathrm {d} n.}$

Производство энтропии в случайных процессах

Поскольку физические процессы могут быть описаны случайными процессами, такими как цепи Маркова и процессы диффузии, производство энтропии может быть определено математически в таких процессах.^[6]

Для цепи Маркова с непрерывным временем и мгновенным распределением вероятностей ${\displaystyle p_{i}(t)}$ и скорость перехода ${\displaystyle q_{ij}}$, мгновенная скорость производства энтропии равна

${\displaystyle e_{p}(t)={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}[p_{i}(t)q_{ij}-p_{j}(t)q_{ji}]\log {\frac {p_{i}(t)q_{ij}}{p_{j}(t)q_{ji}}}.}$

Долговременное поведение производства энтропии сохраняется после надлежащего прекращения процесса. Этот подход обеспечивает динамическое объяснение утверждения Кельвина и утверждения Клаузиуса второго закона термодинамики.^[7]

Смотрите также

• Термодинамика
• Первый закон термодинамики
• Второй закон термодинамики
• Необратимый процесс
• Неравновесная термодинамика
• Сплавы с высокой энтропией

Рекомендации

1. S.R. де Гроот и П. Мазур, Неравновесная термодинамика (издательство North-Holland Publishing Company, Амстердам-Лондон, 1969)
2. С. Карно Reflexions sur la puissance motrice du feu Башелье, Париж, 1824 г.
3. Клаузиус, Р. (1854 г.). "Ueber eine veränderte Form des zweiten Hauptsatzes der Mechanischen Wärmetheoriein". Annalen der Physik und Chemie. 93 (12): 481–506. Дои:10.1002 / andp.18541691202. Получено 25 июн 2012.. Клаузиус, Р. (август 1856 г.). "Об одной модификации второй основной теоремы механической теории тепла". Фил. Mag. 4. 12 (77): 81–98. Дои:10.1080/14786445608642141. Получено 25 июн 2012.
4. Р. Клаузиус Über Verschiedene für die Anwendung bequeme Formen der Hauptgleigungen der Mechanische Wärmetheorie in Abhandlungen über die Anwendung bequeme Formen der Haubtgleichungen der Mechanischen Wärmetheorie Ann.Phys. [2] 125, 390 (1865). Эта статья переведена и может быть найдена в: Второй закон термодинамики, Под редакцией Дж. Кестина, Даудена, Хатчинсона и Росс, Инк., Страудсбург, Пенсильвания, стр. 162-193.
5. A.T.A.M. de Waele, Основы работы криохладителей и связанных с ними тепловых машин, Обзорная статья, Journal of Low Temperature Physics, Vol.164, pp. 179-236, (2011), DOI: 10.1007 / s10909-011-0373-x.
6. Цзян, Да-Цюань; Цянь, Мин; Цянь, Мин-Пин (2004). Математическая теория неравновесных стационарных состояний: на рубеже вероятностей и динамических систем. Берлин: Springer. ISBN  978-3-540-40957-1.
7. Ван, Юэ; Цянь, Хун (2020). «Математическое представление утверждений Клаузиуса и Кельвина о втором законе и необратимости». Журнал статистической физики. 179 (3): 808–837. arXiv:1805.09530. Дои:10.1007 / s10955-020-02556-6.

дальнейшее чтение

• Крукс, Г. (1999). «Теорема о флуктуации производства энтропии и неравновесное отношение работы для разностей свободной энергии». Физический обзор E (Бесплатный PDF) | формат = требует | url = (помощь). 60 (3): 2721–2726. arXiv:cond-mat / 9901352. Bibcode:1999PhRvE..60.2721C. Дои:10.1103 / PhysRevE.60.2721. PMID  11970075.
• Зейферт, Удо (2005). «Производство энтропии по стохастической траектории и интегральная флуктуационная теорема». Письма с физическими проверками (Бесплатный PDF) | формат = требует | url = (помощь). 95 (4): 040602. arXiv:cond-mat / 0503686. Bibcode:2005PhRvL..95d0602S. Дои:10.1103 / PhysRevLett.95.040602. PMID  16090792.