Показатель ошибки - Error exponent

В теория информации, то показатель ошибки из код канала или же исходный код по длине блока кода - это скорость, с которой вероятность ошибки уменьшается экспоненциально с длиной блока кода. Формально он определяется как предельное отношение отрицательного логарифма вероятности ошибки к длине блока кода для больших длин блоков. Например, если вероятность ошибки ${displaystyle P_{mathrm {error} }}$ из декодер падает как ${displaystyle e^{-nalpha }}$, куда ${displaystyle n}$ - длина блока, показатель ошибки равен ${displaystyle alpha }$. В этом примере ${displaystyle {frac {-ln P_{mathrm {error} }}{n}}}$ подходы ${displaystyle alpha }$ для больших ${displaystyle n}$. Многие из теоретико-информационный теоремы имеют асимптотический характер, например, теорема кодирования каналов заявляет, что для любого ставка меньше пропускной способности канала, вероятность ошибки кода канала может быть доведена до нуля, поскольку длина блока стремится к бесконечности. В практических ситуациях существуют ограничения на задержку связи, и длина блока должна быть конечной. Поэтому важно изучить, как уменьшается вероятность ошибки, когда длина блока стремится к бесконечности.

Показатель ошибки при кодировании канала

Для инвариантных во времени DMC

В теорема кодирования каналов утверждает, что для любого ε> 0 и для любого ставка меньше, чем пропускная способность канала, существует схема кодирования и декодирования, которая может использоваться, чтобы гарантировать, что вероятность ошибки блока меньше, чем ε> 0 для достаточно длинного блока сообщения Икс. Также для любого ставка больше, чем пропускная способность канала, вероятность ошибки блока на приемнике становится равной единице, поскольку длина блока стремится к бесконечности.

Предполагая, что настройка кодирования канала выглядит следующим образом: канал может передавать любой из ${displaystyle M=2^{nR};}$ сообщения, передав соответствующее кодовое слово (которое имеет длину п). Каждый компонент в кодовой книге нарисован i.i.d. согласно некоторому распределению вероятностей с функция массы вероятности Q. В конце декодирования выполняется декодирование с максимальной вероятностью.

Позволять ${displaystyle X_{i}^{n}}$ быть ${displaystyle i}$-е случайное кодовое слово в кодовой книге, где ${displaystyle i}$ идет от ${displaystyle 1}$ к ${displaystyle M}$. Предположим, выбрано первое сообщение, поэтому кодовое слово ${displaystyle X_{1}^{n}}$ передается. При условии ${displaystyle y_{1}^{n}}$ получен, вероятность того, что кодовое слово будет неправильно определено как ${displaystyle X_{2}^{n}}$ является:

${displaystyle P_{mathrm {error} 1 o 2}=sum _{x_{2}^{n}}Q(x_{2}^{n})1(p(y_{1}^{n}mid x_{2}^{n})>p(y_{1}^{n}mid x_{1}^{n})).}$

Функция ${displaystyle 1(p(y_{1}^{n}mid x_{2}^{n})>p(y_{1}^{n}mid x_{1}^{n}))}$ имеет верхнюю границу

${displaystyle left({frac {p(y_{1}^{n}mid x_{2}^{n})}{p(y_{1}^{n}mid x_{1}^{n})}}ight)^{s}}$

за ${displaystyle s>0;}$ Таким образом,

${displaystyle P_{mathrm {error} 1 o 2}leq sum _{x_{2}^{n}}Q(x_{2}^{n})left({frac {p(y_{1}^{n}mid x_{2}^{n})}{p(y_{1}^{n}mid x_{1}^{n})}}ight)^{s}.}$

Так как всего M сообщений, а записи в кодовой книге - i.i.d., вероятность того, что ${displaystyle X_{1}^{n}}$ путают с любым другим сообщением ${displaystyle M}$ раз выше выражение. Используя границу объединения, вероятность запутать ${displaystyle X_{1}^{n}}$ с любым сообщением ограничено:

${displaystyle P_{mathrm {error} 1 o mathrm {any} }leq M^{ho }left(sum _{x_{2}^{n}}Q(x_{2}^{n})left({frac {p(y_{1}^{n}mid x_{2}^{n})}{p(y_{1}^{n}mid x_{1}^{n})}}ight)^{s}ight)^{ho }}$

для любого ${displaystyle 0<ho <1}$. Усреднение по всем комбинациям ${displaystyle x_{1}^{n},y_{1}^{n}}$:

${displaystyle P_{mathrm {error} 1 o mathrm {any} }leq M^{ho }sum _{y_{1}^{n}}left(sum _{x_{1}^{n}}Q(x_{1}^{n})[p(y_{1}^{n}mid x_{1}^{n})]^{1-sho }ight)left(sum _{x_{2}^{n}}Q(x_{2}^{n})[p(y_{1}^{n}mid x_{2}^{n})]^{s}ight)^{ho }.}$

Выбор ${displaystyle s=1-sho }$ и объединяя две суммы по ${displaystyle x_{1}^{n}}$ в приведенной выше формуле:

${displaystyle P_{mathrm {error} 1 o mathrm {any} }leq M^{ho }sum _{y_{1}^{n}}left(sum _{x_{1}^{n}}Q(x_{1}^{n})[p(y_{1}^{n}mid x_{1}^{n})]^{frac {1}{1+ho }}ight)^{1+ho }.}$

Используя независимость элементов кодового слова и дискретную природу канала без памяти:

${displaystyle P_{mathrm {error} 1 o mathrm {any} }leq M^{ho }prod _{i=1}^{n}sum _{y_{i}}left(sum _{x_{i}}Q_{i}(x_{i})[p_{i}(y_{i}mid x_{i})]^{frac {1}{1+ho }}ight)^{1+ho }}$

Используя тот факт, что каждый элемент кодового слова одинаково распределен и, следовательно, является стационарным:

${displaystyle P_{mathrm {error} 1 o mathrm {any} }leq M^{ho }left(sum _{y}left(sum _{x}Q(x)[p(ymid x)]^{frac {1}{1+ho }}ight)^{1+ho }ight)^{n}.}$

Замена M на 2^nR и определение

${displaystyle E_{o}(ho ,Q)=-ln left(sum _{y}left(sum _{x}Q(x)[p(ymid x)]^{1/(1+ho )}ight)^{1+ho }ight),}$

вероятность ошибки становится

${displaystyle P_{mathrm {error} }leq exp(-n(E_{o}(ho ,Q)-ho R)).}$

Q и ${displaystyle ho }$ следует выбирать так, чтобы граница была самой высокой. Таким образом, показатель ошибки можно определить как

${displaystyle E_{r}(R)=max _{Q}max _{ho in [0,1]}E_{o}(ho ,Q)-ho R.;}$

Показатель ошибки в исходной кодировке

Для инвариантных во времени дискретных источников без памяти

В исходное кодирование Теорема утверждает, что для любого ${displaystyle varepsilon >0}$ и любой i.i.d. с дискретным временем источник, такой как ${displaystyle X}$ и для любого ставка меньше чем энтропия источника достаточно большой ${displaystyle n}$ и кодировщик, который принимает ${displaystyle n}$ i.i.d. повторение источника, ${displaystyle X^{1:n}}$, и сопоставляет его с ${displaystyle n.(H(X)+varepsilon )}$ двоичные биты, такие что исходные символы ${displaystyle X^{1:n}}$ восстанавливаются из двоичных разрядов с вероятностью не менее ${displaystyle 1-varepsilon }$.

Позволять ${displaystyle M=e^{nR},!}$ - общее количество возможных сообщений. Затем сопоставьте каждую из возможных исходных выходных последовательностей с одним из сообщений случайным образом с использованием равномерного распределения и независимо от всего остального. При генерации источника соответствующее сообщение ${displaystyle M=m,}$ затем передается по назначению. Сообщение декодируется в одну из возможных исходных строк. Чтобы минимизировать вероятность ошибки, декодер будет декодировать исходную последовательность. ${displaystyle X_{1}^{n}}$ что максимизирует ${displaystyle P(X_{1}^{n}mid A_{m})}$, куда ${displaystyle A_{m},}$ обозначает событие, которое сообщение ${displaystyle m}$ был передан. Это правило эквивалентно поиску исходной последовательности ${displaystyle X_{1}^{n}}$ среди набора исходных последовательностей, которые отображаются на сообщение ${displaystyle m}$ что максимизирует ${displaystyle P(X_{1}^{n})}$. Это сокращение следует из того, что сообщения присваивались случайным образом и независимо от всего остального.

Таким образом, в качестве примера возникновения ошибки предположим, что исходная последовательность ${displaystyle X_{1}^{n}(1)}$ был сопоставлен с сообщением ${displaystyle 1}$ как и исходная последовательность ${displaystyle X_{1}^{n}(2)}$. Если ${displaystyle X_{1}^{n}(1),}$ был сгенерирован в источнике, но ${displaystyle P(X_{1}^{n}(2))>P(X_{1}^{n}(1))}$ тогда возникает ошибка.

Позволять ${displaystyle S_{i},}$ обозначают событие, при котором исходная последовательность ${displaystyle X_{1}^{n}(i)}$ был сгенерирован в источнике, так что ${displaystyle P(S_{i})=P(X_{1}^{n}(i)),.}$ Тогда вероятность ошибки можно разбить как ${displaystyle P(E)=sum _{i}P(Emid S_{i})P(S_{i}),.}$ Таким образом, можно сосредоточить внимание на поиске верхней границы ${displaystyle P(Emid S_{i}),}$.

Позволять ${displaystyle A_{i'},}$ обозначают событие, при котором исходная последовательность ${displaystyle X_{1}^{n}(i')}$ был сопоставлен с тем же сообщением, что и исходная последовательность ${displaystyle X_{1}^{n}(i)}$ и это ${displaystyle P(X_{1}^{n}(i'))geq P(X_{1}^{n}(i))}$. Таким образом, позволяя ${displaystyle X_{i,i'},}$ обозначают событие, когда две исходные последовательности ${displaystyle i,}$ и ${displaystyle i',}$ сопоставить с тем же сообщением, у нас есть это

${displaystyle P(A_{i'})=Pleft(X_{i,i'}igcap P(X_{1}^{n}(i')ight)geq P(X_{1}^{n}(i))),}$

и используя тот факт, что ${displaystyle P(X_{i,i'})={frac {1}{M}},}$ и не зависит от всего остального

${displaystyle P(A_{i'})={frac {1}{M}}P(P(X_{1}^{n}(i'))geq P(X_{1}^{n}(i))),.}$

Простая верхняя оценка члена слева может быть установлена ​​как

${displaystyle left[P(P(X_{1}^{n}(i'))geq P(X_{1}^{n}(i)))ight]leq left({frac {P(X_{1}^{n}(i'))}{P(X_{1}^{n}(i))}}ight)^{s},}$

для некоторого произвольного действительного числа ${displaystyle s>0,.}$ Эту оценку сверху можно проверить, отметив, что ${displaystyle P(P(X_{1}^{n}(i'))>P(X_{1}^{n}(i))),}$ либо равно ${displaystyle 1,}$ или же ${displaystyle 0,}$ потому что вероятности данной входной последовательности полностью детерминированы. Таким образом, если ${displaystyle P(X_{1}^{n}(i'))geq P(X_{1}^{n}(i)),,}$ тогда ${displaystyle {frac {P(X_{1}^{n}(i'))}{P(X_{1}^{n}(i))}}geq 1,}$ так что в этом случае неравенство выполняется. Неравенство выполняется и в другом случае, поскольку

${displaystyle left({frac {P(X_{1}^{n}(i'))}{P(X_{1}^{n}(i))}}ight)^{s}geq 0,}$

для всех возможных исходных строк. Таким образом, объединяя все и вводя некоторые ${displaystyle ho in [0,1],}$, есть это

${displaystyle P(Emid S_{i})leq P(igcup _{ieq i'}A_{i'})leq left(sum _{ieq i'}P(A_{i'})ight)^{ho }leq left({frac {1}{M}}sum _{ieq i'}left({frac {P(X_{1}^{n}(i'))}{P(X_{1}^{n}(i))}}ight)^{s}ight)^{ho },.}$

Где неравенства вытекают из варианта ограничения Союза. Наконец, применяя эту верхнюю границу к суммированию для ${displaystyle P(E),}$ есть это:

${displaystyle P(E)=sum _{i}P(Emid S_{i})P(S_{i})leq sum _{i}P(X_{1}^{n}(i))left({frac {1}{M}}sum _{i'}left({frac {P(X_{1}^{n}(i'))}{P(X_{1}^{n}(i))}}ight)^{s}ight)^{ho },.}$

Где теперь можно взять сумму за все ${displaystyle i',}$ потому что это только увеличит границу. В конечном итоге давая это

${displaystyle P(E)leq {frac {1}{M^{ho }}}sum _{i}P(X_{1}^{n}(i))^{1-sho }left(sum _{i'}P(X_{1}^{n}(i'))^{s}ight)^{ho },.}$

Теперь для простоты пусть ${displaystyle 1-sho =s,}$ так что ${displaystyle s={frac {1}{1+ho }},.}$ Подставляя это новое значение ${displaystyle s,}$ в приведенную выше оценку вероятности ошибки и с учетом того факта, что ${displaystyle i',}$ это просто фиктивная переменная в сумме, которая дает следующее в качестве верхней границы вероятности ошибки:

${displaystyle P(E)leq {frac {1}{M^{ho }}}left(sum _{i}P(X_{1}^{n}(i))^{frac {1}{1+ho }}ight)^{1+ho },.}$

${displaystyle M=e^{nR},!}$ и каждый из компонентов ${displaystyle X_{1}^{n}(i),}$ независимы. Таким образом, упрощение приведенного выше уравнения дает

${displaystyle P(E)leq exp left(-nleft[ho R-ln left(sum _{x_{i}}P(x_{i})^{frac {1}{1+ho }}ight)(1+ho )ight]ight).}$

Член в экспоненте должен быть максимальным ${displaystyle ho ,}$ для достижения наивысшей верхней границы вероятности ошибки.

Сдача ${displaystyle E_{0}(ho )=ln left(sum _{x_{i}}P(x_{i})^{frac {1}{1+ho }}ight)(1+ho ),,}$ посмотрите, что показатель степени ошибки для случая исходного кодирования:

${displaystyle E_{r}(R)=max _{ho in [0,1]}left[ho R-E_{0}(ho )ight].,}$

Смотрите также

• Исходное кодирование
• Кодирование каналов

Рекомендации

Р. Галлагер, Теория информации и надежная коммуникация, Wiley 1968