Суммирование Эйлера – Буля - Euler–Boole summation - Wikipedia
Метод суммирования для некоторых расходящихся рядов
Суммирование Эйлера – Буля это метод суммирования чередующийся ряд на основе Полиномы Эйлера, которые определяются
![{ displaystyle { frac {2e ^ {xt}} {e ^ {t} +1}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} E_ {n} (x) { frac {t ^ {n}} {n!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa25590684cc771bf5c76a81b16195a57f8aff0a)
Концепция названа в честь Леонард Эйлер и Джордж Буль.
Периодические функции Эйлера:
![{ displaystyle { widetilde {E}} _ {n} (x + 1) = - { widetilde {E}} _ {n} (x) { text {и}} { widetilde {E}} _ {n} (x) = E_ {n} (x) { text {for}} 0 <x <1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f02505813adf9dfafff8ba4153a1985e25aa0fcd)
Формула Эйлера – Буля для суммирования знакопеременных рядов:
![{ displaystyle sum _ {j = a} ^ {n-1} (- 1) ^ {j} f (j + h) = { frac {1} {2}} sum _ {k = 0} ^ {m-1} { frac {E_ {k} (h)} {k!}} left ((- 1) ^ {n-1} f ^ {(k)} (n) + (- 1 ) ^ {a} f ^ {(k)} (a) right) + { frac {1} {2 (m-1)!}} int _ {a} ^ {n} f ^ {(m )} (x) { widetilde {E}} _ {m-1} (hx) , dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a8c85929d2bda3fb4120769777d12a0a9684d8f)
куда
и
это k-я производная.
Рекомендации
- Джонатан М. Борвейн, Нил Дж. Калкин, Данте Манна: Возвращение к суммированию Эйлера – Буля. Американский математический ежемесячник, Vol. 116, № 5 (май 2009 г.), стр. 387–412 (онлайн, JSTOR )
- Нико М. Темме: Специальные функции: введение в классические функции математической физики. Wiley, 2011 г., ISBN 9781118030813, стр. 17–18