Ожидаемая ценность выборочной информации - Expected value of sample information

В теория принятия решений, то ожидаемое значение выборочной информации (EVSI) ожидаемое увеличение полезности, которое лицо, принимающее решения, может получить от получения доступа к образец дополнительных наблюдений перед принятием решения. Дополнительная информация, полученная от образец может позволить им принять более информированное и, следовательно, лучшее решение, что приведет к увеличению ожидаемой полезности. EVSI пытается оценить, каким будет это улучшение, прежде чем увидеть фактические данные выборки; следовательно, EVSI - это форма того, что известно как предпостарный анализ.

Формулировка

Позволять

${\displaystyle {\begin{array}{ll}d\in D&{\mbox{the decision being made, chosen from space }}D\\x\in X&{\mbox{an uncertain state, with true value in space }}X\\z\in Z&{\mbox{an observed sample composed of }}n{\mbox{ observations }}\langle z_{1},z_{2},..,z_{n}\rangle \\U(d,x)&{\mbox{the utility of selecting decision }}d{\mbox{ from }}x\\p(x)&{\mbox{the prior subjective probability distribution (density function) on }}x\\p(z|x)&{\mbox{the conditional prior probability of observing the sample }}z\end{array}}}$

Обычно (но не обязательно) в сценариях EVSI для ${\displaystyle Z_{i}=X}$, ${\displaystyle p(z|x)=\prod p(z_{i}|x)}$ и ${\displaystyle \int zp(z|x)dz=x}$, что означает, что каждое наблюдение представляет собой объективное считывание сенсором основного состояния. ${\displaystyle x}$, при этом показания каждого датчика независимы и одинаково распределены.

Полезность оптимального решения, основанного только на предыдущем, без каких-либо дальнейших наблюдений, определяется выражением

${\displaystyle E[U]=\max _{d\in D}~\int _{X}U(d,x)p(x)~dx.}$

Если бы лицо, принимающее решение, могло получить доступ к единственной выборке, ${\displaystyle z}$, оптимальная апостериорная полезность будет

${\displaystyle E[U|z]=\max _{d\in D}~\int _{X}U(d,x)p(x|z)~dx}$

куда ${\displaystyle p(x|z)}$ получается из Правило Байеса:

${\displaystyle p(x|z)={{p(z|x)p(x)} \over {p(z)}};}$

${\displaystyle p(z)=\int p(z|x)p(x)~dx.}$

Поскольку они не знают, какой образец был бы фактически получен, если бы он был получен, они должны усреднить все возможные образцы, чтобы получить ожидаемую полезность для данной выборки:

${\displaystyle E[U|SI]=\int _{Z}E[U|z]p(z)dz=\int _{Z}\max _{d\in D}~\int _{X}U(d,x)p(z|x)p(x)~dx~dz.}$

Ожидаемое значение выборочной информации затем определяется как

${\displaystyle {\begin{array}{rl}EVSI&=E[U|SI]-E[U]\\&=\left(\int _{Z}\max _{d\in D}~\int _{X}U(d,x)p(z|x)p(x)~dx~dz\right)-\left(\max _{d\in D}~\int _{X}U(d,x)p(x)~dx\right).\end{array}}}$

Вычисление

Редко возможно выполнить интегрирование по пространству возможных наблюдений в E [U | SI] аналитически, поэтому для вычисления EVSI обычно требуется Моделирование Монте-Карло. Метод предполагает случайное моделирование выборки, ${\displaystyle z^{i}=\langle z_{1}^{i},z_{2}^{i},..,z_{n}^{i}\rangle }$, затем используя его для вычисления апостериорного ${\displaystyle p(x|z^{i})}$ и максимизация полезности на основе ${\displaystyle p(x|z^{i})}$. Затем весь этот процесс повторяется много раз, так как ${\displaystyle i=1,..,M}$ получить Образец Монте-Карло если оптимальные коммунальные платежи. Они усредняются, чтобы получить ожидаемую полезность для гипотетической выборки.

Пример

Регулирующий орган должен решить, одобрять ли новое лечение. Прежде чем принять окончательное решение об одобрении / отклонении, они спрашивают, какова будет ценность проведения дальнейшего пробного исследования ${\displaystyle n}$ предметы. На этот вопрос отвечает EVSI.

схема модели EVSI

На диаграмме показан диаграмма влияния для вычисления EVSI в этом примере.

Модель классифицирует результат для любого предмета по одной из пяти категорий:

${\displaystyle Z_{i}=}$ {«Лечение», «Улучшение», «Неэффективно», «Легкий побочный эффект», «Серьезный побочный эффект»}

И для каждого из этих результатов назначает полезность, равную расчетной денежной стоимости результата, эквивалентной пациенту.

Состояние решения, ${\displaystyle x}$ в этом примере - вектор из пяти чисел от 0 до 1, сумма которых равна 1, что дает долю будущих пациентов, которые испытают каждый из пяти возможных результатов. Например, состояние ${\displaystyle x=[5\%,60\%,20\%,10\%,5\%]}$ означает случай, когда 5% пациентов вылечились, у 60% улучшилось состояние, 20% считают лечение неэффективным, 10% испытывают легкие побочные эффекты и 5% испытывают опасные побочные эффекты.

Приор, ${\displaystyle p(x)}$ кодируется с использованием Распределение Дирихле, требуя пяти чисел (которые не суммируются с 1), относительные значения которых отражают ожидаемую относительную долю каждого результата, а сумма которых кодирует силу этого предшествующего убеждения. На схеме параметры Распределение Дирихле содержатся в переменной дирихле альфа приор, а само априорное распределение находится в случайной переменной Прежний. В график плотности вероятности из маргиналы показано здесь:

В случайной переменной Данные испытаний, данные испытаний моделируются как образец Монте-Карло из Мультиномиальное распределение. Например, когда Trial_size = 100, каждый образец Монте-Карло Trial_data содержит вектор, который суммируется до 100, показывая количество субъектов в моделируемом исследовании, которые испытали каждый из пяти возможных результатов. В следующей таблице результатов показаны первые 8 смоделированных результатов испытаний:

Объединение этих данных испытаний с Дирихле приор требует только прибавления исходных частот к предыдущим значениям альфа Дирихле, что дает Апостериорное распределение Дирихле для каждого смоделированного испытания. Для каждого из них решение об утверждении принимается на основе того, является ли средняя полезность положительной, и с использованием нулевой полезности, когда обработка не утверждена, Получена апостериорная полезность. Повторяя вычисление для диапазона возможных размеров испытания, EVSI получается для каждого возможного размера испытания кандидата, как показано на этом графике:

Историческое прошлое

Книга 1961 года Прикладная статистическая теория принятия решений^[1] Шлайфер и Райффа был одним из первых, кто широко использовал EVSI.

Сравнение с соответствующими мерами

Ожидаемое значение выборочной информации (EVSI) - это ослабление ожидаемая ценность совершенной информации (EVPI) метрика, которая кодирует увеличение полезности, которое было бы получено, если бы кто-то узнал истинное базовое состояние, ${\displaystyle x}$. По сути, EVPI указывает ценность точной информации, в то время как EVSI указывает значение некоторые ограниченные и неполные Информация.

В ожидаемое значение с учетом неопределенности (EVIU) сравнивает ценность моделирования неопределенной информации по сравнению с моделированием ситуации без учета неопределенности. Поскольку влияние неопределенности на вычисленные результаты часто анализируется с использованием Методы Монте-Карло, EVIU очень похож на ценность проведения анализа с использованием Образец Монте-Карло, что очень похоже на формулировку концепции EVSI. Однако EVSI и EVIU совершенно разные - заметная разница между тем, как EVSI использует Байесовское обновление для включения смоделированного образца.

Смотрите также

• Ожидаемая ценность совершенной информации (EVPI)
• Ожидаемое значение с учетом неопределенности (EVIU)

Рекомендации

1. Шлайфер и Райффа (1961), "Прикладная статистическая теория принятия решений"