Явный закон взаимности - Explicit reciprocity law - Wikipedia

В математике явный закон взаимности формула для Символ Гильберта из местное поле. Название «явный закон взаимности» относится к тому факту, что символы Гильберта локальных полей появляются в Закон взаимности Гильберта для символ остатка энергии. Определения символа Гильберта обычно довольно окольные, и их трудно использовать непосредственно в явных примерах, а явные законы взаимности дают более явные выражения для символа Гильберта, которые иногда проще использовать.

Также существует несколько явных законов взаимности для различных обобщений символа Гильберта на более высокие местные поля, п-делимые группы, и так далее.

История

Артин и Хассе (1928) дал явную формулу для символа Гильберта (α, β) в случае нечетных степеней простого числа, для некоторых специальных значений α и β, когда поле является (круговым) расширением поля п-адические числа на п^пй корень единства. Ивасава (1968) распространил формулу Артина и Хассе на большее количество случаев α и β, и Уайлс (1978) и де Шалит (1986) расширил работу Ивасавы на Расширения Любина – Тейта местных полей. Шафаревич (1950) дал явную формулу символа Гильберта для нечетных простых степеней общих локальных полей. Его формула была довольно сложной, что затрудняло ее использование, и Брюкнер (1967, 1979 ) и Востоков (1978) нашел более простую формулу. Хенниарт (1981) упростил работу Востокова и распространил ее на случай даже простых полномочий.

Примеры

Для архимедовых локальных полей или в неразветвленном случае символ Гильберта легко записать явно. Основная проблема - оценить это в разветвленном случае.

Архимедовы поля

Над комплексными числами (а, б) всегда равно 1. Сверх действительных чисел символ Гильберта нечетной степени тривиален, а символ Гильберта четной степени задается выражением (а, б)_∞ равно +1, если хотя бы один из а или же б положительно, и −1, если оба отрицательны.

Неразветвленный случай: ручной символ Гильберта

В неразветвленном случае, когда порядок символа Гильберта взаимно прост с характеристикой вычета локального поля, приручить символ Гильберта дан кем-то^[1]

{ displaystyle (a, b) = omega ((-1) ^ { operatorname {ord} (a) operatorname {ord} (b)} b ^ { operatorname {ord} (a)} / a ^ { operatorname {ord} (b)}) ^ {(q-1) / n}}

где ω (а) это (q - 1) корень -й степени из единицы, конгруэнтный а и ord (а) - значение оценки местного поля, а п - степень символа Гильберта, а q - порядок поля классов вычетов. Номер п разделяет q - 1, потому что локальное поле содержит пкорни единства по предположению.

Как частный случай, над p-адиками с п странно, письмо ${ Displaystyle а = р ^ { альфа} и}$ и ${ displaystyle b = p ^ { beta} v}$ , куда ты и v целые числа взаимно просты с п, для квадратичного символа Гильберта

{ displaystyle (a, b) _ {p} = (- 1) ^ { alpha beta varepsilon (p)} left ({ frac {u} {p}} right) ^ { beta} left ({ frac {v} {p}} right) ^ { alpha}}

, куда

{ Displaystyle varepsilon (p) = (p-1) / 2}

и выражение включает два Лежандровые символы.

Разветвленный случай

Простейшим примером символа Гильберта в разветвленном случае является квадратичный символ Гильберта над 2-адическими целыми числами. Над 2-адиками снова пишем ${ displaystyle a = 2 ^ { alpha} u}$ и ${ displaystyle b = 2 ^ { beta} v}$ , куда ты и v находятся нечетные числа, для квадратичного символа Гильберта

{ displaystyle (a, b) _ {2} = (- 1) ^ { epsilon (u) epsilon (v) + alpha omega (v) + beta omega (u)}}

, куда

{ Displaystyle омега (х) = (х ^ {2} -1) / 8}

и

{ displaystyle epsilon (x) = (x-1) / 2.}

Смотрите также

Закон рациональной взаимности

Примечания

^ Нойкирх (1999) стр.335

дальнейшее чтение

Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности. От Эйлера до Эйзенштейна, Монографии Springer по математике, Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3-540-66957-4, МИСТЕР 1761696, Zbl 0949.11002

[Neu335-1] Нойкирх (1999) стр.335

[1]