Экспоненциально эквивалентные меры - Exponentially equivalent measures

В математика, экспоненциальная эквивалентность мер как две последовательности или семейства вероятностные меры «одинаковы» с точки зрения теория больших отклонений.

Определение

Позволять ${displaystyle (M,d)}$ быть метрическое пространство и рассмотрим два одно-параметр семейства вероятностных мер на ${displaystyle M}$, сказать ${displaystyle (mu _{varepsilon })_{varepsilon >0}}$ и ${displaystyle (u _{varepsilon })_{varepsilon >0}}$. Эти две семьи называются экспоненциально эквивалентный если есть

• однопараметрическое семейство вероятностных пространств ${displaystyle (Omega ,Sigma _{varepsilon },P_{varepsilon })_{varepsilon >0}}$,
• две семьи ${displaystyle M}$-значные случайные величины ${displaystyle (Y_{varepsilon })_{varepsilon >0}}$ и ${displaystyle (Z_{varepsilon })_{varepsilon >0}}$,

такой, что

• для каждого ${displaystyle varepsilon >0}$, то ${displaystyle P_{varepsilon }}$-закон (т.е. проталкивающая мера ) из ${displaystyle Y_{varepsilon }}$ является ${displaystyle mu _{varepsilon }}$, а ${displaystyle P_{varepsilon }}$-закон ${displaystyle Z_{varepsilon }}$ является ${displaystyle u _{varepsilon }}$,
• для каждого ${displaystyle delta >0}$, “${displaystyle Y_{varepsilon }}$ и ${displaystyle Z_{varepsilon }}$ дальше чем ${displaystyle delta }$ отдельно »- это ${displaystyle Sigma _{varepsilon }}$-измеримое событие, т.е.

${displaystyle {ig {}omega in Omega {ig |}d(Y_{varepsilon }(omega ),Z_{varepsilon }(omega ))>delta {ig }}in Sigma _{varepsilon },}$

• для каждого ${displaystyle delta >0}$,

${displaystyle limsup _{varepsilon downarrow 0},varepsilon log P_{varepsilon }{ig (}d(Y_{varepsilon },Z_{varepsilon })>delta {ig )}=-infty .}$

Два семейства случайных величин ${displaystyle (Y_{varepsilon })_{varepsilon >0}}$ и ${displaystyle (Z_{varepsilon })_{varepsilon >0}}$ также говорят, что они экспоненциально эквивалентный.

Характеристики

Основное использование экспоненциальной эквивалентности заключается в том, что, что касается принципов больших отклонений, экспоненциально эквивалентные семейства мер неразличимы. Точнее, если принцип больших уклонений выполняется для ${displaystyle (mu _{varepsilon })_{varepsilon >0}}$ с хорошим функция оценки ${displaystyle I}$, и ${displaystyle (mu _{varepsilon })_{varepsilon >0}}$ и ${displaystyle (u _{varepsilon })_{varepsilon >0}}$ экспоненциально эквивалентны, то тот же принцип больших уклонений выполняется для ${displaystyle (u _{varepsilon })_{varepsilon >0}}$ с такой же хорошей функцией оценки ${displaystyle I}$.

Рекомендации

• Дембо, Амир; Зейтуни, Офер (1998). Методы и приложения больших отклонений. Приложения математики (Нью-Йорк) 38 (второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. xvi + 396. ISBN  0-387-98406-2. МИСТЕР  1619036. (См. Раздел 4.2.2)