Повышенная точность - Extended precision - Wikipedia

Не путать с Произвольная точность.

Повышенная точность относится к плавающая точка числовые форматы, обеспечивающие большее точность чем основные форматы с плавающей запятой.^[1] Форматы повышенной точности поддерживают базовый формат за счет минимизация ошибок округления и переполнения в промежуточных значениях выражений по базовому формату. В отличие от повышенная точность, арифметика произвольной точности относится к реализациям гораздо более крупных числовых типов (с объемом памяти, который обычно не является степенью двойки) с использованием специального программного обеспечения (или, реже, оборудования).

Реализации повышенной точности

Существует долгая история расширенных форматов с плавающей запятой, уходящая корнями почти в середину прошлого века. Различные производители использовали разные форматы для повышения точности для разных станков. Во многих случаях формат расширенной точности не совсем то же самое, что масштабирование обычных форматов с одинарной и двойной точностью, которые он предназначен для расширения. В некоторых случаях реализация была просто программным изменением формата данных с плавающей запятой, но в большинстве случаев повышенная точность была реализована аппаратно, либо встроенной в центральный процессор сам или, что чаще, встроен в оборудование дополнительного подключенного процессора, называемого "блок с плавающей запятой "(FPU) или" процессор с плавающей запятой "(FPP ), доступный для ЦПУ как устройство быстрого ввода / вывода.

Форматы расширенной точности IBM

В IBM 1130, продана в 1965 г.,^[2] предлагает два формата с плавающей запятой: 32-битный формат «стандартной точности» и 40-битный формат «расширенной точности». Формат стандартной точности содержит 24-битный два дополнения значимое в то время как повышенная точность использует 32-битный два дополнения значимое. Последний формат полностью использует 32-битные целочисленные операции ЦП. Характеристика в обоих форматах - это 8-битное поле, содержащее степень двойки. пристрастный на 128. Арифметические операции с плавающей запятой выполняются программным обеспечением, и двойная точность не поддерживается вообще. Расширенный формат занимает три 16-битных слова, а лишнее пространство просто игнорируется.^[3]

В IBM System / 360 поддерживает 32-битный «короткий» формат с плавающей запятой и 64-битный «длинный» формат с плавающей запятой.^[4] 360/85 и последующие модели Система / 370 добавить поддержку 128-битного «расширенного» формата.^[5] Эти форматы по-прежнему поддерживаются в текущем дизайн, где они теперь называются "шестнадцатеричный с плавающей запятой "(HFP) форматы.

Формат расширенной точности Microsoft MBF

В Microsoft BASIC порт для 6502 CPU, например, в таких адаптациях, как Commodore BASIC, AppleSoft BASIC, КИМ-1 БАЗОВЫЙ или же MicroTAN BASIC, поддерживает расширенный 40-битный вариант формата с плавающей запятой Двоичный формат Microsoft (MBF) с 1977 года.^[6]

Форматы повышенной точности IEEE 754

В IEEE 754 Стандарт с плавающей запятой рекомендует, чтобы реализации обеспечивали форматы с расширенной точностью. Стандарт определяет минимальные требования для расширенного формата, но не определяет кодировку.^[7] Кодировка - выбор разработчика.^[8]

В IA32, x86-64, и Itanium процессоры поддерживают 80-битный "двойной расширенный" формат повышенной точности с 64-битным значением. В Intel 8087 математика сопроцессор был первым x86 устройство, которое аппаратно поддерживает арифметику с плавающей запятой. Он был разработан для поддержки 32-битного формата «одинарной точности» и 64-битного формата «двойной точности» для кодирования и перестановки чисел с плавающей запятой. Временный реальный (расширенный) формат был разработан не для хранения данных с более высокой точностью как таковой, а в первую очередь для обеспечения более надежного и точного вычисления двойных результатов за счет минимизации ошибок переполнения и округления в промежуточных вычислениях.^[а][10][11] Например, многие алгоритмы с плавающей запятой (например, возведение в степень ) страдают от значительной потери точности при вычислении с использованием наиболее прямых реализаций. Чтобы смягчить такие проблемы, внутренние регистры в 8087 были разработаны для хранения промежуточных результатов в 80-битном формате «повышенной точности». 8087 автоматически преобразует числа в этот формат при загрузке регистров с плавающей запятой из объем памяти а также преобразует результаты обратно в более традиционные форматы при сохранении регистров обратно в память. Чтобы обеспечить возможность сохранения промежуточных результатов подвыражения в временных переменных повышенной точности и продолжения в операторах языка программирования, а также для возобновления прерванных вычислений с того места, где они были прерваны, он предоставляет инструкции которые передают значения между этими внутренними регистрами и памятью без выполнения какого-либо преобразования, что, таким образом, обеспечивает доступ к расширенному формату для вычислений^[b] - также возрождает вопрос о точности функций таких чисел, но с большей точностью.

В единицы с плавающей запятой (FPU) на всех последующих x86 процессоры поддерживают этот формат. В результате может быть разработано программное обеспечение, использующее более высокую точность, обеспечиваемую этим форматом. Уильям Кахан, основной разработчик арифметики x87 и первоначальные предложения по стандарту IEEE 754, примечания по разработке плавающей запятой x87: «Расширенный формат настолько широкий, насколько мы осмелились (80 бит), был включен для выполнения той же вспомогательной роли, что и 13 десятичных внутренних формат используется в десятичных калькуляторах Hewlett-Packard ».^[13] Более того, Кахан отмечает, что 64 бита были самым широким значением, по которому распространение переноса могло быть выполнено без увеличения времени цикла на 8087,^[14] и что повышенная точность x87 была разработана с целью повышения точности в будущих процессорах: «На данный момент 10-байтовый расширенный формат это приемлемый компромисс между ценностью сверхточной арифметики и ценой ее реализации для быстрой работы; очень скоро еще два байта точности станут допустимыми, и в конечном итоге 16-байтовый формат. ... Такая постепенная эволюция в сторону большей точности уже рассматривалась, когда Стандарт IEEE 754 для арифметики с плавающей запятой был оформлен ".^[15]

В Motorola 6888x математические сопроцессоры и Motorola 68040 и 68060 процессоры поддерживают тот же 64-битный тип значащей расширенной точности (похожий на формат Intel, но дополненный до 96-битного формата с 16 неиспользуемыми битами, вставленными между полями экспоненты и значащей^[16]). Последующие Холодный огонь процессоры не поддерживают этот 96-битный формат повышенной точности.^[17]

Математический сопроцессор FPA10 для раннего РУКА процессоры также поддерживают этот тип повышенной точности (аналогичный формату Intel, но с дополнением до 96-битного формата с 16 нулевыми битами, вставленными между полями знака и экспоненты), но без правильного округления.^[18]

80-битные форматы x87 и Motorola 68881 соответствуют требованиям двойного расширенного формата IEEE 754,^[19] как и IEEE 754 128 бит формат.

x86 формат повышенной точности

Формат расширенной точности x86 - это 80-битный формат, впервые реализованный в Intel 8087 математика сопроцессор и поддерживается всеми процессорами, основанными на x86 дизайн которые включают блок с плавающей запятой (FPU). Этот 80-битный формат использует один бит для знака мантиссы, 15 бит для поля экспоненты (то есть тот же диапазон, что и 128-битный формат IEEE 754 с четырехкратной точностью ) и 64 бита для мантиссы. Поле экспоненты пристрастный на 16383, что означает, что 16383 нужно вычесть из значения в поле экспоненты, чтобы вычислить фактическую степень двойки.^[20] Значение поля экспоненты 32767 (все пятнадцать бит 1) зарезервировано, чтобы обеспечить представление особых состояний, таких как бесконечность и Не число. Если поле экспоненты равно нулю, значение равно ненормальный число и показатель степени 2 равны −16382.^[21]

В следующей таблице "s"- значение знакового бита (0 означает положительное, 1 означает отрицательное),"е"- значение поля экспоненты, интерпретируемое как положительное целое число, и"м"- мантисса, интерпретируемая как положительное двоичное число, где двоичная точка расположена между битами 63 и 62."мПоле "представляет собой комбинацию целой и дробной частей на диаграмме выше.

Интерпретация полей значения расширенной точности x86

Экспонента	Значительный		Смысл
Все нули	Бит 63	Биты 62-0
	Нуль	Нуль	Нуль. Знаковый бит дает знак нуля.
		Ненулевой	Денормальный. Ценность (−1)^s × м × 2^−16382
	Один	Что-либо	Псевдо денормальный. 80387 и более поздние версии правильно интерпретируют это значение, но не генерируют его. Ценность (−1)^s × м × 2^−16382
Все	Биты 63,62	Биты 61-0
	00	Нуль	Псевдо-бесконечность. Знаковый бит дает знак бесконечности. 8087 и 80287 рассматривают это как бесконечность. 80387 и более поздние версии обрабатывают это как недопустимый операнд.
		Ненулевой	Псевдо - не число. Знаковый бит не имеет смысла. 8087 и 80287 рассматривают это как сигнал, а не число. 80387 и более поздние версии обрабатывают это как недопустимый операнд.
	01	Что-либо	Псевдо не число. Знаковый бит не имеет смысла. 8087 и 80287 рассматривают это как сигнал, а не число. 80387 и более поздние версии обрабатывают это как недопустимый операнд.
	10	Нуль	Бесконечность. Знаковый бит дает знак бесконечности. 8087 и 80287 рассматривают это как сигнал, а не число. Сопроцессоры 8087 и 80287 использовали представление псевдобесконечности для бесконечностей.
		Ненулевой	Сигнализация - это не число, знаковый бит не имеет смысла.
	11	Нуль	Неопределенный с плавающей запятой, результат неверных вычислений, таких как квадратный корень из отрицательного числа, логарифм отрицательного числа, 0/0, бесконечность / бесконечность, бесконечность, умноженная на 0, и другие, когда процессор был настроен так, чтобы не генерировать исключения для недопустимые операнды. Знаковый бит не имеет смысла. Это частный случай Тихого, а не числа.
		Ненулевой	Quiet Not a Number, бит знака не имеет смысла. 8087 и 80287 рассматривают это как сигнал, а не число.
Все остальные значения	Бит 63	Биты 62-0
	Нуль	Что-либо	Ненормально. Генерируется только на 8087 и 80287. 80387 и более поздние версии обрабатывают это как недопустимый операнд. Ценность (−1)^s × м × 2е−16383
	Один	Что-либо	Нормализованное значение. Ценность (−1)^s × м × 2е−16383

В отличие от Один и двойная точность форматов, в этом формате не используется неявный /скрытый бит. Напротив, бит 63 содержит целую часть мантиссы, а биты 62-0 содержат дробную часть. Бит 63 будет равен 1 для всех нормализованных чисел. У этой конструкции было несколько преимуществ, когда 8087 разрабатывался:

• Вычисления могут быть выполнены немного быстрее, если в регистре присутствуют все биты мантиссы.
• 64-битное значение обеспечивает достаточную точность, чтобы избежать потери точности при преобразовании результатов обратно в формат двойной точности в огромном количестве случаев.
• Этот формат обеспечивает механизм для индикации потери точности из-за потери значимости, которая может быть перенесена в дальнейшие операции. Например, расчет 2×10⁻⁴⁹³⁰ × 3×10⁻¹⁰ × 4×10²⁰ генерирует промежуточный результат 6×10⁻⁴⁹⁴⁰ который является ненормальный а также влечет за собой потерю точности. Результатом всех условий является 24×10⁻⁴⁹²⁰ которое можно представить как нормализованное число. В 80287 может завершить это вычисление и указать потерю точности, вернув «ненормальный» результат (показатель степени не равен 0, бит 63 = 0).^[22][23] Процессоры с 80387 больше не генерируют аномалии и не поддерживают нестандартные входные данные для операций. Они будут генерировать денормализацию, если происходит потеря значимости, но будут генерировать нормализованный результат, если последующие операции над денормализацией могут быть нормализованы.^[24]

Введение в использование

80-битный формат с плавающей запятой был широко доступен к 1984 году,^[25] после разработки C, Fortran и подобных компьютерных языков, которые изначально предлагали только общие 32- и 64-разрядные размеры с плавающей запятой. На x86 дизайн наиболее C компиляторы теперь поддерживают 80-битную расширенную точность через длинный двойной тип, и это было указано в C99 / C11 стандартов (арифметика с плавающей запятой IEC 60559 (приложение F)). Компиляторы на x86 для других языков часто также поддерживают повышенную точность, иногда с помощью нестандартных расширений: например, Турбо Паскаль предлагает расширенный типа и несколько Фортран компиляторы имеют РЕАЛЬНЫЙ * 10 тип (аналог РЕАЛЬНЫЙ * 4 и РЕАЛЬНЫЙ * 8). Такие компиляторы также обычно включают математические подпрограммы, Такие как квадратный корень и тригонометрические функции, в своем стандарте библиотеки.

Рабочий диапазон

80-битный формат с плавающей запятой имеет диапазон (включая субнормальные ) примерно от 3,65 × 10⁻⁴⁹⁵¹ до 1,18 × 10⁴⁹³². Хотя журнал₁₀(2⁶⁴) ≅ 19.266, этот формат обычно описывается как обеспечивающий приблизительно восемнадцать значащих цифр точности. Использование десятичного числа при разговоре о двоичном коде неудачно, потому что большинство десятичных дробей являются повторяющимися последовательностями в двоичном формате, как 2/3 - в десятичном. Таким образом, такое значение, как 10,15, представлено в двоичном виде как эквивалент 10,1499996185 и т. Д. В десятичном виде для REAL * 4, но 10,15000000000000035527 и т. Д. в REAL * 8: взаимное преобразование будет включать приближение, за исключением тех немногих десятичных дробей, которые представляют точное двоичное значение, например 0,625. Для REAL * 10 десятичная строка - 10,1499999999999999996530553 и т. Д. Последние 9 цифр - это восемнадцатая дробная цифра и, следовательно, двадцатая значащая цифра строки. Границы преобразования между десятичным и двоичным форматом для 80-битного формата могут быть заданы следующим образом: если десятичная строка с не более чем 18 значащими цифрами правильно округлена до 80-битного двоичного значения с плавающей запятой IEEE 754 (как на входе), тогда преобразован обратно в то же количество значащих десятичных цифр (как для вывода), тогда окончательная строка будет точно соответствовать исходной; в то время как, наоборот, если 80-битное двоичное значение с плавающей запятой IEEE 754 правильно преобразовано и (ближайшее) округлено до десятичной строки с как минимум 21 значащей десятичной цифрой, а затем преобразовано обратно в двоичный формат, оно будет точно соответствовать оригиналу.^[19] Эти приближения вызывают особые затруднения при указании наилучшего значения для констант в формулах с высокой точностью, которые можно вычислить с помощью арифметика произвольной точности.

Потребность в 80-битном формате

Яркий пример необходимость минимум 64 бит точности в мантиссе формата расширенной точности - необходимость избежать потери точности при выполнении возведения в степень на двойная точность значения.^{[26][27][28][c]} В x86 блоки с плавающей запятой не предоставляют инструкции, которые непосредственно выполняют возведение в степень. Вместо этого они предоставляют набор инструкций, которые программа может последовательно использовать для выполнения возведения в степень с использованием уравнения:

${\displaystyle x^{y}=2^{\,y\,\cdot \,\log _{2}(x)}}$

Во избежание потери точности промежуточные результаты "бревно₂(Икс)" и "y·бревно₂(Икс)"должны быть вычислены с гораздо более высокой точностью, потому что, по сути, и экспоненты, и значащие поля Икс должно соответствовать значимости промежуточного результата. Впоследствии поле значимости промежуточного результата разделяется между полями экспоненты и значимости конечного результата, когда 2^{промежуточный результат} рассчитывается. Следующее обсуждение описывает это требование более подробно.

Немного распаковав, IEEE 754 двойная точность значение может быть представлено как:

${\displaystyle 2^{(-1)^{s}\,\cdot \,E}\,\cdot \,M\ }$

куда s - знак экспоненты (0 или 1), E - несмещенная экспонента, представляющая собой целое число от 0 до 1023, и M - мантисса, представляющая собой 53-битное значение, попадающее в диапазон 1 ≤ M < 2. Отрицательные числа и ноль можно игнорировать, поскольку логарифм этих значений не определен. Для целей этого обсуждения M не имеет 53 бита точности, потому что он ограничен быть больше или равным единице, то есть скрытый бит не учитывается в точности (обратите внимание, что в ситуациях, когда M меньше 1, значение на самом деле является ненормальным и, следовательно, уже может иметь потерю точности. Эта ситуация выходит за рамки данной статьи).

Записывая это представление двойная точность число и упрощение приводит к следующему:

${\displaystyle \log _{2}(2^{(-1)^{s}\,\cdot \,E}\,\cdot \,M)=(-1)^{s}\,\cdot \,E\,\cdot \,\log _{2}(2)\,+\,\log _{2}(M)=\pm \,E\,+\,\log _{2}(M)}$

Этот результат демонстрирует, что при логарифме числа по основанию 2 знак экспоненты исходного значения становится знаком логарифма, показатель степени исходного значения становится целой частью мантиссы логарифма, а мантисса исходное значение преобразуется в дробную часть мантиссы логарифма.

Потому что E является целым числом в диапазоне от 0 до 1023, для представления целой части логарифма требуется до 10 бит слева от точки счисления. Потому что M попадает в диапазон 1 ≤ M < 2, значение бревно₂ M попадет в диапазон 0 ≤ журнал₂ M < 1 поэтому для представления дробной части логарифма требуется не менее 52 бита справа от точки счисления. Объединение 10 битов слева от точки счисления с 52 битами справа от точки счисления означает, что значимая часть логарифма должна быть вычислена с точностью не менее 62 бит. На практике значения M меньше, чем ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ требует 53 бита справа от точки счисления и значений M меньше, чем ${\displaystyle {\sqrt[{4}]{2}}}$ требуется 54 бита справа от точки счисления, чтобы избежать потери точности. Уравновешивая это требование для дополнительной точности справа от точки счисления, для экспонентов меньше 512 требуется только 9 бит слева от точки счисления, а для показателей меньше 256 требуется только 8 бит слева от точки счисления.

Заключительная часть возведение в степень вычисление вычисляет 2^{промежуточный результат}. «Промежуточный результат» состоит из целой части »я"добавлено в дробную часть"F". Если промежуточный результат отрицательный, то требуется небольшая корректировка, чтобы получить положительную дробную часть, потому что и то, и другое"я" и "F"отрицательные числа.

Для положительных промежуточных результатов:

${\displaystyle 2^{\mathrm {intermediate\ result} }=2^{I+F}=2^{I}\,2^{F}}$

При отрицательных промежуточных результатах:

${\displaystyle 2^{\mathrm {intermediate\ result} }=2^{I+F}=2^{I\,+\,(1-1)\,+\,F}=2^{(I-1)\,+\,(1+F)}=2^{I-1}\,2^{1+F}}$

Таким образом, целая часть промежуточного результата ("я" или же "я−1") плюс смещение становится показателем конечного результата и преобразуется в положительную дробную часть промежуточного результата: 2^F или же 2^1+F становится знаменателем окончательного результата. Чтобы обеспечить точность 52 бита для окончательного результата, положительная дробная часть должна быть сохранена на уровне не менее 52 бита.

В заключение, точное количество битов точности, необходимое в значении промежуточного результата, в некоторой степени зависит от данных, но 64 бита достаточно, чтобы избежать потери точности в подавляющем большинстве случаев. возведение в степень вычисления с участием двойная точность числа.

Количество бит, необходимое для экспоненты формата расширенной точности следует из требования, чтобы произведение двух двойная точность числа не должны переполняться при вычислении с использованием расширенного формата. Наибольший возможный показатель двойная точность значение 1023, поэтому показатель степени наибольшего возможного произведения двух двойная точность числа - 2047 (11-битное значение). Добавление смещения для учета отрицательных показателей степени означает, что поле экспоненты должно иметь ширину не менее 12 бит.

Сочетание этих требований: 1 бит для знака, 12 бит для смещенной экспоненты и 64 бита для мантиссы означает, что для формата с расширенной точностью потребуется не менее 77 бит. Инженерные соображения привели к окончательному определению 80-битного формата (в частности, стандарт IEEE 754 требует, чтобы диапазон экспоненты формата расширенной точности соответствовал следующему по величине, четырехъядерный, формат точности 15 бит).^[27]

Другой пример вычислений, в которых используется арифметика повышенной точности: итеративное уточнение схемы, используемые для косвенной очистки ошибок, накопленных в прямом решении во время обычно очень большого количества вычислений, выполняемых для числовой линейной алгебры.^[30]

Языковая поддержка

• Немного C /C ++ реализации (например, Коллекция компиляторов GNU (GCC), Лязг, Intel C ++ ) воплощать в жизнь длинный двойной с использованием 80-битных чисел с плавающей запятой в системах x86. Однако это поведение определяется реализацией и не требуется, но разрешено стандартом, как указано для оборудования IEEE 754 в C99 стандарт «Приложение F IEC 60559 арифметика с плавающей запятой». GCC также предоставляет __float80 и __float128 типы.^[31]
• D язык программирования реализует настоящий используя самый большой размер с плавающей запятой, реализованный на оборудовании, 80 бит для x86 ЦП или двойная точность, в зависимости от того, что больше.
• Object Pascal (Delphi ) имеет в дополнение к SINGLE и DOUBLE тип EXTENDED.
• В Ракетка система времени выполнения предоставляет 80-битный тип данных extflonum в системах x86.
• В Быстрый стандартная библиотека предоставляет Поплавок80 тип данных.
• В PowerBASIC Компилятор BASIC предоставляет EXT или же РАСШИРЕННЫЙ 10 байт Тип данных с плавающей запятой повышенной точности.

Смотрите также

• GNU MPFR - Библиотека GNU "Надежность с плавающей запятой с множественной точностью" для C
• Шестнадцатеричное число с плавающей запятой IBM
• IEEE 754
• длинный двойной

Сноски

1. "Этот формат предназначен главным образом для того, чтобы помочь программистам повысить целостность их одинарного и двойного программного обеспечения и уменьшить деградацию за счет округления в двойных матричных вычислениях больших размеров, и его можно легко использовать таким образом, чтобы заменить четырехкратную замену расширенных потребностей никогда не отменять его использование ". - дизайнер x87 В. Кахан^[9]
2. «Языки высокого уровня будут использовать расширенный (невидимый) для оценки промежуточных подвыражений, а позже могут предоставлять расширенный как декларируемый тип данных».^{[12](стр70)}
3. "Наличие по крайней мере такого же количества дополнительных битов точности в расширенном, как и в поле экспоненты основного формата, который он поддерживает, значительно упрощает точное вычисление трансцендентных функций, внутренних произведений и степенной функции. y^Икс."^{[29](стр70)}

Рекомендации

1. IEEE 754 (2008 г., ¶ 2.1.21) определяет формат повышенной точности как «Формат, расширяющий поддерживаемый базовый формат, обеспечивая более широкую точность и диапазон».
2. Фрэнсис, К. (11 февраля 1965 г.). «IBM представляет мощный маленький компьютер». Директор по информации (пресс-релиз). Уайт-Плейнс, Нью-Йорк: Международная корпорация бизнес-машин (IBM). Архивировано из оригинал на 2019-07-05.
3. Библиотека подпрограмм (PDF). IBM 1130 (9-е изд.). Корпорация IBM. 1974. стр. 93.
4. Принцип работы. IBM System / 360 (9-е изд.). Корпорация IBM. 1970. стр. 41.
5. IBM System / 370 Принципы работы (7-е изд.). Корпорация IBM. 1980. С. 9-2–9-3.
6. Стейл, Майкл (2008-10-20). «Создайте свою собственную версию Microsoft BASIC для 6502». pagetable.com. п. 46. В архиве из оригинала на 30.05.2016. Получено 2016-05-30.
7. IEEE Computer Society (29 августа 2008 г.). Стандарт IEEE для арифметики с плавающей запятой (Отчет). IEEE. §3.7. Дои:10.1109 / IEEESTD.2008.4610935. ISBN  978-0-7381-5752-8. IEEE Std 754-2008.
8. Брюэр, Кевин. "Отчет Кевина". Справочный материал IEEE-754. Получено 2012-02-19.
9. Кахан, Уильям (1 октября 1997 г.). «Лекционные заметки о статусе стандарта IEEE 754 для двоичной арифметики с плавающей запятой» (PDF). п. 5.
10. Эйнарссон, Бо (2005). Точность и надежность в научных вычислениях. СИАМ. стр. 9 и далее. ISBN  978-0-89871-815-7. Получено 3 мая 2013.
11. «Архитектуры Intel 64 и IA-32». Руководство разработчика программного обеспечения. Intel Corp. Март 2012 г. §8.2.
12. Кунен, Джером Т. (январь 1980 г.). «Руководство по реализации предлагаемого стандарта для арифметики с плавающей запятой». IEEE Computer: 68–79.
13. Кахан, Уильям (22 ноября 1983 г.). «Математика, написанная песком - hp-15C, Intel 8087 и т. Д.» (PDF).
14. Гольдберг, Дэвид (март 1991). «Что должен знать каждый компьютерный ученый об арифметике с плавающей запятой» (PDF). Опросы ACM Computing. 23 (1): 192.
15. Хайэм, Николас (2002). «Разработка стабильных алгоритмов». Точность и стабильность численных алгоритмов. (2-е изд.). Общество промышленной и прикладной математики (SIAM). п. 43.
16. Семейство Motorola MC68000 (PDF). Справочное руководство для программистов. Freescale Semiconductor. 1992. С. 1–16.
17. Семья ColdFire (PDF). Справочное руководство для программистов. Freescale Semiconductor. 2005. с. 7-7.
18. «Лист данных FPA10» (PDF). chrisacorns.computinghistory.org.uk. GEC Plessey Semiconductors. 11 июня 1993 г.. Получено 26 ноября 2020.
19. Кахан, Уильям (1 октября 1997 г.). «Лекционные заметки о статусе стандарта IEEE 754 для двоичной арифметики с плавающей запятой» (PDF).
20. Лист данных Intel 80C187
21. Руководство разработчика архитектур Intel 64 и IA-32: Vol. 1. Корпорация Intel. стр. с 4-6 по 4-9 и с 4-18 по 4-21.
22. Палмер, Джон Ф .; Морс, Стивен П. (1984). Праймер 8087. Wiley Press. стр.14. ISBN  0-471-87569-4.
23. Морс, Стивен П .; Альберт, Дуглас Дж. (1986). Архитектура 80286. Wiley Press. стр.91 –111. ISBN  0-471-83185-9.
24. Руководство разработчика архитектур Intel 64 и IA-32: Vol. 1. Корпорация Intel. С 8-21 по 8-22.
25. Чарльз Северанс (20 февраля 1998 г.). "Интервью со Стариком Плавающей точки".
26. Палмер, Джон Ф .; Морс, Стивен П. (1984). Праймер 8087. Wiley Press. стр.16. ISBN  0-471-87569-4.
27. Морс, Стивен П .; Альберт, Дуглас Дж. (1986). Архитектура 80286. Wiley Press. стр.96 –98. ISBN  0-471-83185-9.
28. Хью, Дэвид (март 1981). «Применение предложенного стандарта IEEE 754 для арифметики с плавающей запятой». IEEE Computer. 14 (3): 70–74. Дои:10.1109 / C-M.1981.220381.
29. Кунен, Джером Т. (январь 1980 г.). «Руководство по реализации предлагаемого стандарта арифметики с плавающей запятой». IEEE Computer: 68–79.
30. Деммель, Джеймс; Хида, Йозо; Кахан, Уильям; Ли, Сяое С.; Мукерджи, Сонил; Риди, Э. Джейсон (июнь 2006 г.). «Границы ошибок от сверхточного итеративного уточнения» (PDF). Транзакции ACM на математическом ПО. 32 (2): 325–351. Дои:10.1145/1141885.1141894. Получено 2014-04-18.
31. https://gcc.gnu.org/onlinedocs/gcc/Floating-Types.html