Бессиловое магнитное поле - Force-free magnetic field

А бессиловое магнитное поле это магнитное поле что возникает, когда плазма давление настолько мал по сравнению с магнитное давление, что давлением плазмы можно пренебречь, поэтому учитывается только магнитное давление. Для свободного поля плотность электрического тока либо равна нулю, либо параллельна магнитному полю. Название «без силы» происходит от возможности пренебречь силой, исходящей от плазмы.

Основные уравнения

Пренебрегая влиянием гравитации, Уравнение Навье – Стокса для плазмы в стационарном состоянии читается

${\displaystyle 0=-\nabla p+\mathbf {j} \times \mathbf {B} ,}$

куда ${\displaystyle p}$ - тепловое давление, ${\displaystyle \mathbf {B} }$ магнитное поле и ${\displaystyle \mathbf {j} }$ это электрический ток. Полагая, что давление газа ${\displaystyle p}$ мало по сравнению с магнитным давлением, т. е.

${\displaystyle p\ll B^{2}/2\mu }$

тогда членом давления можно пренебречь. Здесь ${\displaystyle \mu }$ это магнитная проницаемость плазмы. Следовательно,

${\displaystyle \mathbf {j} \times \mathbf {B} =0}$.

Это уравнение означает, что:${\displaystyle \mu _{0}\mathbf {j} =\alpha \mathbf {B} }$. например в плотность тока либо равно нулю, либо параллельно магнитное поле, и где ${\displaystyle \alpha }$ - пространственно изменяющаяся функция, которую предстоит определить. Комбинируя это уравнение с Уравнения Максвелла:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu \mathbf {j} }$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$

и векторная идентичность:

${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=0}$

приводит к паре уравнений для ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \mathbf {B} }$:

${\displaystyle \mathbf {B} \cdot \nabla \alpha =0,}$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\alpha \mathbf {B} .}$

Физические примеры

в корона Солнца отношение давления газа к магнитному давлению может локально быть порядка 0,01 или ниже, и в этих областях магнитное поле можно описать как бессиловое.

Математические пределы

• Если плотность тока тождественно равна нулю, то магнитное поле равно потенциал, т.е. градиент из скаляр магнитный потенциал.

В частности, если ${\displaystyle \mathbf {j} =0}$

тогда ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =0}$ откуда следует, что ${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \phi }$.

Замена этого на один из Уравнения Максвелла, ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$, приводит к Уравнение Лапласа,

${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =0}$,

которые часто можно легко решить, в зависимости от точных граничных условий.

Этот предел обычно называют случаем потенциального поля.

• Если плотность тока не равна нулю, то она должна быть параллельна магнитному полю, т.е.

${\displaystyle \mu \mathbf {j} =\alpha \mathbf {B} }$ откуда следует, что ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\alpha \mathbf {B} }$, куда ${\displaystyle \alpha }$ - некоторая скалярная функция.

то сверху имеем

${\displaystyle \mathbf {B} \cdot \nabla \alpha =0}$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\alpha \mathbf {B} }$ , откуда следует, что

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=\nabla \times (\alpha \mathbf {B} )}$

Тогда есть два случая:

Случай 1: пропорциональность между плотностью тока и магнитным полем везде постоянна.

${\displaystyle \nabla \times (\alpha \mathbf {B} )=\alpha (\nabla \times \mathbf {B} )=\alpha ^{2}\mathbf {B} }$

а также

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {B} )-\nabla ^{2}\mathbf {B} =-\nabla ^{2}\mathbf {B} }$,

и так

${\displaystyle -\nabla ^{2}\mathbf {B} =\alpha ^{2}\mathbf {B} }$

Это Уравнение Гельмгольца.

Случай 2: пропорциональность между плотностью тока и магнитным полем является функцией положения.

${\displaystyle \nabla \times (\alpha \mathbf {B} )=\alpha (\nabla \times \mathbf {B} )+\nabla \alpha \times \mathbf {B} =\alpha ^{2}\mathbf {B} +\nabla \alpha \times \mathbf {B} }$

Итак, результат - связанные уравнения:

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {B} +\alpha ^{2}\mathbf {B} =\mathbf {B} \times \nabla \alpha }$

и

${\displaystyle \mathbf {B} \cdot \nabla \alpha =0}$

В этом случае уравнения не имеют общего решения и обычно должны решаться численно.

Смотрите также

• Уравнение Лапласа
• Уравнение Гельмгольца

Рекомендации

• Низкий, Бун Чи "Безсиловые магнитные поля^{[постоянная мертвая ссылка ]}". Ноябрь 2000 г.