Формула Фробениуса - Frobenius formula

В математике, особенно в теория представлений, то Формула Фробениуса, представлен Г. Фробениус, вычисляет символы неприводимых представлений симметричная группа S_п. Среди других приложений формулу можно использовать для получения формула длины крючка.

В (Баран 1991 ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFRam1991 (помощь), Арун Рам дает q-аналог формулы Фробениуса.

Заявление

Позволять ${\displaystyle \chi _{\lambda }}$ быть персонаж неприводимого представления симметрической группы ${\displaystyle S_{n}}$ соответствующий разделу ${\displaystyle \lambda }$ из п: ${\displaystyle n=\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{k}}$ и ${\displaystyle \ell _{j}=\lambda _{j}+k-j}$. Для каждого раздела ${\displaystyle \mu }$ из п, позволять ${\displaystyle C(\mu )}$ обозначить класс сопряженности в ${\displaystyle S_{n}}$ соответствующий ему (см. пример ниже), и пусть ${\displaystyle i_{j}}$ обозначить количество раз j появляется в ${\displaystyle \mu }$ (так ${\displaystyle \Sigma \,i_{j}j=n}$). Тогда Формула Фробениуса утверждает, что постоянное значение ${\displaystyle \chi _{\lambda }}$ на ${\displaystyle C(\mu ),}$

${\displaystyle \chi _{\lambda }(C(\mu )),}$

- коэффициент монома ${\displaystyle x_{1}^{\ell _{1}}\dots x_{k}^{\ell _{k}}}$ в однородном полиноме

${\displaystyle \prod _{i<j}(x_{i}-x_{j})\prod _{j}P_{j}(x_{1},\dots ,x_{k})^{i_{j}},}$

куда ${\displaystyle P_{j}(x_{1},\dots ,x_{k})=x_{1}^{j}+\dots +x_{k}^{j}}$ это ${\displaystyle j}$-го сумма мощности.

Пример: Брать ${\displaystyle n=4}$ и ${\displaystyle \lambda :4=2+2}$. Если ${\displaystyle \mu :4=1+1+1+1}$, что соответствует классу элемента идентичности, то ${\displaystyle \chi _{\lambda }(C(\mu ))}$ коэффициент при ${\displaystyle x_{1}^{3}x_{2}^{2}}$ в

${\displaystyle (x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})^{4}}$

что равно 2. Аналогично, если ${\displaystyle \mu :4=3+1}$ (класс 3 цикла умножает на 1 цикл), тогда ${\displaystyle \chi _{\lambda }(C(\mu ))}$, данный

${\displaystyle (x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}),}$

равно -1.

Смотрите также

• Теория представлений симметрических групп

Рекомендации

• А. Рам, Формула Фробениуса для характеров алгебр Гекке, Математические изобретения, vol 106, no 1, pp 461–488, 1991.
• Фултон, Уильям; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс. Тексты для выпускников по математике, Чтения по математике. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN  978-0-387-97495-8. МИСТЕР  1153249. OCLC  246650103.
• Макдональд, И.Г. Симметричные функции и многочлены Холла. Второе издание. Оксфордские математические монографии. Оксфордские научные публикации. The Clarendon Press, Oxford University Press, Нью-Йорк, 1995. x + 475 стр.ISBN  0-19-853489-2 МИСТЕР1354144