Фундаментальный класс - Fundamental class

О фундаментальном классе в теории полей классов см. формирование класса.

В математика, то фундаментальный класс это гомология класс [M] связан с связанный ориентируемый компактный коллектор измерения п, что соответствует генератору группы гомологий ${\displaystyle H_{n}(M,\partial M;\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} }$ . Фундаментальный класс можно рассматривать как ориентацию многомерного симплексы подходящей триангуляции многообразия.

Определение

Закрытый, ориентируемый

Когда M это связанный ориентируемый закрытый коллектор измерения п, группа высших гомологий бесконечный циклический: ${\displaystyle H_{n}(M,\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} }$, а ориентация - это выбор генератора, выбор изоморфизма ${\displaystyle \mathbf {Z} \to H_{n}(M,\mathbf {Z} )}$. Генератор называется фундаментальный класс.

Если M отключен (но все же ориентируемый), фундаментальный класс - это прямая сумма фундаментальных классов для каждого связного компонента (соответствующая ориентации для каждого компонента).

В отношениях с когомологии де Рама это представляет интегрирование по M; а именно для M гладкое многообразие, п-форма ω можно спарить с фундаментальным классом как

${\displaystyle \langle \omega ,[M]\rangle =\int _{M}\omega \ ,}$

который является интегралом от ω по M, и зависит только от класса когомологий ω.

Класс Штифеля-Уитни

Если M не ориентируется, ${\displaystyle H_{n}(M,\mathbf {Z} )\ncong \mathbf {Z} }$, поэтому нельзя определить фундаментальный класс M живущие внутри целых чисел. Однако каждое замкнутое многообразие ${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}$-ориентируемый, и ${\displaystyle H_{n}(M,\mathbf {Z} _{2})=\mathbf {Z} _{2}}$ (для M связанный). Таким образом, каждое замкнутое многообразие является ${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}$-ориентированный (не только ориентированныйспособный: нет двусмысленности в выборе ориентации), имеет ${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}$-фундаментальный класс.

Эта ${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}$-фундаментальный класс используется при определении Класс Штифеля – Уитни.

С границей

Если M компактное ориентируемое многообразие с краем, то группа верхних относительных гомологий снова бесконечная циклическая ${\displaystyle H_{n}(M,\partial M)\cong \mathbf {Z} }$, а понятие фундаментального класса распространяется на относительный случай.

Двойственность Пуанкаре

Основная статья: Двойственность Пуанкаре

Для любой абелевой группы ${\displaystyle G}$ и неотрицательное целое число ${\displaystyle q\geq 0}$ можно получить изоморфизм

${\displaystyle [M]\frown ~:H^{q}(M;G)\rightarrow H_{n-q}(M;G)}$ .

используя конечное произведение фундаментального класса и ${\displaystyle q}$ -группа когомологий. Этот изоморфизм дает двойственность Пуанкаре:

${\displaystyle H^{*}(M;G)\cong H_{n-*}(M;G)}$ .

Двойственность Пуанкаре распространяется на относительный случай.

Смотрите также Искривленная двойственность Пуанкаре

Приложения

в Разложение Брюа из разновидность флага из Группа Ли фундаментальный класс соответствует верхней размерности Ячейка Шуберта, или эквивалентно самый длинный элемент группы Кокстера.

Смотрите также

• Самый длинный элемент группы Кокстера
• Двойственность Пуанкаре

внешние ссылки

• Фундаментальный класс в Manifold Atlas.
• Статья в энциклопедии математики о фундаментальный класс.