Нечеткая сфера - Fuzzy sphere - Wikipedia

В математика, то нечеткая сфера один из самых простых и канонических примеров некоммутативная геометрия. Обычно функции, определенные на сфера образуют коммутирующую алгебру. Нечеткая сфера отличается от обычной сферы тем, что алгебра функций на ней не коммутативна. Он создается сферические гармоники чье вращение л не больше, чем j. Члены произведения двух сферических гармоник, которые содержат сферические гармоники со спином, превышающим j просто опущены в продукте. Это усечение заменяет бесконечномерную коммутативную алгебру на ${ displaystyle j ^ {2}}$ -мерная некоммутативная алгебра.

Самый простой способ увидеть эту сферу - это реализовать эту усеченную алгебру функций как матричную алгебру в некотором конечномерном векторном пространстве. j-мерные матрицы ${ displaystyle J_ {a}, ~ a = 1,2,3}$ которые составляют основу j размерное неприводимое представление алгебры Ли вс (2). Они удовлетворяют отношения ${ displaystyle [J_ {a}, J_ {b}] = i epsilon _ {abc} J_ {c}}$ , куда ${ displaystyle epsilon _ {abc}}$ это полностью антисимметричный символ с ${ displaystyle epsilon _ {123} = 1}$ , и порождают через матричное произведение алгебру ${ displaystyle M_ {j}}$ из j размерные матрицы. Ценность вс (2) Оператор Казимира в этом представлении

{ displaystyle J_ {1} ^ {2} + J_ {2} ^ {2} + J_ {3} ^ {2} = { frac {1} {4}} (j ^ {2} -1) I }

где я j-мерная единичная матрица. Таким образом, если мы определим `` координаты '' ${ displaystyle x_ {a} = kr ^ {- 1} J_ {a}}$ куда р - радиус сферы и k параметр, связанный с р и j к ${ displaystyle 4r ^ {4} = k ^ {2} (j ^ {2} -1)}$ , то приведенное выше уравнение относительно оператора Казимира можно переписать в виде

{ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} = r ^ {2}}

,

что является обычным соотношением для координат на сфере радиуса р встроен в трехмерное пространство.

На этом пространстве можно определить интеграл с помощью

{ displaystyle int _ {S ^ {2}} fd Omega: = 2 pi k , { text {Tr}} (F)}

куда F - матрица, соответствующая функции жНапример, интеграл от единицы, который дает поверхность сферы в коммутативном случае, здесь равен

{ displaystyle 2 pi k , { text {Tr}} (I) = 2 pi kj = 4 pi r ^ {2} { frac {j} { sqrt {j ^ {2} -1 }}}}

которое сходится к значению поверхности сферы, если взять j до бесконечности.

Смотрите также

Нечеткий тор

Примечания

Йенс Хоппе, «Мембраны и матричные модели», лекции, прочитанные во время летней школы «Квантовая теория поля - с гамильтоновой точки зрения», 2–9 августа 2000 г. arXiv:hep-th / 0206192
Джон Мадор, Введение в некоммутативную дифференциальную геометрию и ее физические приложения, Серия лекций Лондонского математического общества. 257, Cambridge University Press, 2002 г.

Нечеткая сфера - Fuzzy sphere - Wikipedia

Смотрите также

Примечания

Рекомендации