Нечеткая подалгебра - Fuzzy subalgebra

Нечеткие подалгебры теория - это глава теория нечетких множеств. Он получается из интерпретации в многозначной логике аксиом, обычно выражающих понятие подалгебра данного алгебраическая структура.

Определение

Рассмотрим язык первого порядка для алгебраических структур с монадический предикат символ S. Тогда a нечеткая подалгебра это нечеткая модель теории, содержащей для любого п-арная операция h, аксиомы

${displaystyle forall x_{1},...,forall x_{n}(S(x_{1})land .....land S(x_{n})ightarrow S(h(x_{1},...,x_{n}))}$

и для любой постоянной c S (c).

Первая аксиома выражает замыкание S по отношению к операции h, а вторая выражает тот факт, что c является элементом в S. В качестве примера предположим, что структура оценки определено в [0,1] и обозначается через ${displaystyle odot }$ операция в [0,1], используемая для интерпретации союза. Тогда нечеткая подалгебра алгебраической структуры с областью определения D определяется нечетким подмножеством s: D → [0,1] D такой, что для каждого d₁, ..., d_п в D, если час это интерпретация символа n-арной операции h, то

• ${displaystyle s(d_{1})odot ...odot s(d_{n})leq s(mathbf {h} (d_{1},...,d_{n}))}$

Более того, если c - интерпретация постоянной c такой, что s (c) = 1.

Наиболее изученный класс нечетких подалгебр - это тот, в котором операция ${displaystyle odot }$ совпадает с минимумом. В таком случае сразу же нужно доказать следующее предложение.

Предложение. Нечеткое подмножество s алгебраической структуры определяет нечеткую подалгебру тогда и только тогда, когда для каждого λ в [0,1] закрытый разрез {x ∈ D: s (x) ≥ λ} алгебры s является подалгеброй.

Нечеткие подгруппы и подмоноиды

Нечеткие подгруппы и нечеткие подмоноиды - особенно интересные классы нечетких подалгебр. В таком случае нечеткое подмножество s моноида (M, •,ты) это нечеткий субмоноид если и только если

1. ${displaystyle s(mathbf {u} )=1}$
2. ${displaystyle s(x)odot s(y)leq s(xcdot y)}$

куда ты это нейтральный элемент в.

Для группы G a нечеткая подгруппа группы G - нечеткий подмоноид s группы G такой, что

• s (x) ≤ s (x⁻¹).

Можно доказать, что понятие нечеткой подгруппы строго связано с понятиями нечеткая эквивалентность. Фактически, предположим, что S - множество, G - группа преобразований в S, а (G, s) - нечеткая подгруппа группы G. Тогда, положив

• e (x, y) = Sup {s (h): h - элемент в G такой, что h (x) = y}

получаем нечеткую эквивалентность. Наоборот, пусть e - нечеткая эквивалентность в S и для любого преобразования h из S положим

• s (h) = Inf {e (x, h (x)): x∈S}.

Тогда s определяет нечеткую подгруппугруппа трансформации в S. Аналогичным образом мы можем связать нечеткие субмоноиды с нечеткими порядками.

Библиография

• Клир, Г. и Бо Юань, Нечеткие множества и нечеткая логика (1995) ISBN  978-0-13-101171-7
• Циммерманн Х., Теория нечетких множеств и ее приложения (2001), ISBN  978-0-7923-7435-0.
• Чакраборти Х. и Дас С., О нечеткой эквивалентности 1, Нечеткие множества и системы, 11 (1983), 185-193.
• Демирчи М., Рекасенс Дж., Нечеткие группы, нечеткие функции и нечеткие отношения эквивалентности, Нечеткие множества и системы, 144 (2004), 441-458.
• Ди Нола А., Герла Г., Решеточнозначные алгебры, Stochastica, 11 (1987), 137–150.
• Гайек П., Метаматематика нечеткой логики. Kluwer 1998.
• Клир Г., ЮТЭ Х. Сент-Клер и Бо Юань Основы и приложения теории нечетких множеств,1997.
• Герла Г., Скарпати М., Сходства, нечеткие группы: связь Галуа, J. Math. Анальный. Appl., 292 (2004), 33-48.
• Мордесон Дж., Киран Р. Бутани и Азриэль Розенфельд. Нечеткая теория групп, Springer Series: Studies in Fuzziness and Soft Computing, Vol. 182, 2005.
• Розенфельд А., Нечеткие группы, J. Math. Анальный. Appl., 35 (1971), 512-517.
• Заде Л.А., Нечеткие множества, «Информация и контроль», 8 (1965) 338353.
• Заде Л.А., Отношения подобия и нечеткое упорядочение, Сообщить. Sci. 3 (1971) 177–200.