Обобщенная метрика - Generalised metric

В математика, концепция обобщенная метрика является обобщением метрика, в котором расстояние не настоящий номер но взято из произвольного упорядоченное поле.

В общем, когда мы определяем метрическое пространство функция расстояния считается действительной функция. Действительные числа образуют упорядоченное поле, которое Архимедов и заказ завершен. Эти метрические пространства обладают некоторыми хорошими свойствами, например: в метрическом пространстве компактность, последовательная компактность и счетная компактность эквивалентны и т. д. Эти свойства могут, однако, не так легко выполняться, если функция расстояния берется в произвольном упорядоченном поле, а не в ${displaystyle scriptstyle mathbb {R} }$.

Предварительное определение

Позволять ${displaystyle (F,+,cdot ,<)}$ - произвольное упорядоченное поле, а ${displaystyle M}$ непустой набор; функция ${displaystyle d:M imes M o F^{+}cup {0}}$ называется метрикой на ${displaystyle M}$, если выполняются следующие условия:

1. ${displaystyle d(x,y)=0Leftrightarrow x=y}$;
2. ${displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$, коммутативность;
3. ${displaystyle d(x,y)+d(y,z)geq d(x,z)}$, неравенство треугольника.

Нетрудно убедиться, что открытые шары ${displaystyle B(x,delta );:={yin M;:d(x,y)<delta }}$ образуют основу для подходящей топологии, последняя называется метрическая топология на ${displaystyle M}$, с метрикой в ${displaystyle F}$.

Ввиду того, что ${displaystyle F}$ в его порядок топологии является монотонно нормальный, мы ожидаем ${displaystyle M}$ быть хотя бы обычный.

Другие свойства

Однако под аксиома выбора, каждая общая метрика монотонно нормальный, для, учитывая ${displaystyle xin G}$, куда ${displaystyle G}$ открыт, есть открытый мяч ${displaystyle B(x,delta )}$ такой, что ${displaystyle xin B(x,delta )subseteq G}$. Брать ${displaystyle mu (x,G)=B(x,delta /2)}$. Проверьте условия монотонной нормальности.

Удивительно то, что даже без выбора общие показатели монотонно нормальный.

доказательство.

Случай I: F является Архимедово поле.

Сейчас если Икс в ${displaystyle G,G}$ открытый, мы можем взять ${displaystyle mu (x,G):=B(x,1/2n(x,G))}$, куда ${displaystyle n(x,G):=min{nin mathbb {N} :B(x,1/n)subseteq G}}$, и фокус делается без выбора.

Случай II: F - неархимедово поле.

Для данного ${displaystyle xin G}$ куда грамм открыто, рассмотрим множество${displaystyle A(x,G):={ain Fcolon forall nin mathbb {N} ,B(x,ncdot a)subseteq G}}$.

Набор А(Икс, грамм) не пусто. Для нас грамм открыт, есть открытый мяч B(Икс, k) в грамм. Теперь, когда F неархимдеев, ${displaystyle mathbb {N} _{F}}$ не ограничен сверху, следовательно, есть некоторые ${displaystyle xi in F}$ с ${displaystyle forall nin mathbb {N} colon ncdot 1leq xi }$. Положив ${displaystyle a=kcdot (2xi )^{-1}}$, Мы видим, что ${displaystyle a}$ в А(Икс, грамм).

Теперь определим ${displaystyle mu (x,G)=igcup {B(x,a)colon ain A(x,G)}}$. Мы бы показали, что относительно этого мю-оператора пространство монотонно нормально. Обратите внимание, что ${displaystyle mu (x,G)subseteq G}$.

Если у не в грамм(открытый набор, содержащий Икс) и Икс не в ЧАС(открытый набор, содержащий у), то мы покажем, что ${displaystyle mu (x,G)cap mu (y,H)}$ пусто. Если нет, скажите z находится на перекрестке. потом

${displaystyle exists ain A(x,G)colon d(x,z)<a;;;exists bin A(y,H)colon d(z,y)<b}$.

Из вышесказанного получаем, что ${displaystyle d(x,y)leq d(x,z)+d(z,y)<2cdot max{a,b}}$, что невозможно, поскольку это означало бы, что либо у принадлежит ${displaystyle mu (x,G)subseteq G}$ или же Икс принадлежит ${displaystyle mu (y,H)subseteq H}$.

Итак, мы закончили!

Обсуждение и ссылки

• Карлос Р. Борхес, Изучение монотонно нормальных пространств, Труды Американского математического общества, Vol. 38, № 1. (март, 1973), стр. 211–214. [1]
• Обсуждение ФОМ связь