Обобщенная арифметическая прогрессия - Generalized arithmetic progression

В математика, а множественная арифметическая прогрессия, обобщенная арифметическая прогрессия или полулинейный набор, является обобщением арифметическая прогрессия оснащен множеством общих отличий. В то время как арифметическая прогрессия генерируется одним общим различием, обобщенная арифметическая прогрессия может быть произведена множеством общих различий. Например, последовательность ${\displaystyle 17,20,22,23,25,26,27,28,29\dots }$ не является арифметической прогрессией, а вместо этого создается, начиная с 17 и прибавляя 3 или же 5, что позволяет генерировать его множеством общих различий.

Конечная обобщенная арифметическая прогрессия

А конечная обобщенная арифметическая прогрессия, или иногда просто обобщенная арифметическая прогрессия (GAP) размерности d определяется как набор вида

${\displaystyle \{x_{0}+l_{1}x_{1}+\cdots +l_{d}x_{d}:0\leq l_{1}<L_{1},\ldots ,0\leq l_{d}<L_{d}\}}$

куда ${\displaystyle x_{0},x_{1},\dots ,x_{d},L_{1},\dots ,L_{d}\in \mathbb {Z} }$. Продукт ${\displaystyle L_{1}L_{2}\cdots L_{d}}$ называется размер обобщенной арифметической прогрессии; то мощность набора может отличаться от размера, если некоторые элементы набора имеют несколько представлений. Если мощность равна размеру, прогрессия называется правильный. Обобщенные арифметические прогрессии можно рассматривать как проекцию сетки более высокого измерения на ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Эта проекция инъективный тогда и только тогда, когда обобщенная арифметическая прогрессия верна.

Полулинейные наборы

Формально арифметическая прогрессия ${\displaystyle \mathbb {N} ^{d}}$ бесконечная последовательность вида ${\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {v} +\mathbf {v} ',\mathbf {v} +2\mathbf {v} ',\mathbf {v} +3\mathbf {v} ',\ldots }$, куда ${\displaystyle \mathbf {v} }$ и ${\displaystyle \mathbf {v} '}$ фиксированные векторы в ${\displaystyle \mathbb {N} ^{d}}$, называемые начальным вектором и общей разностью соответственно. Подмножество ${\displaystyle \mathbb {N} ^{d}}$ как говорят линейный если это имеет форму

${\displaystyle \left\{\mathbf {v} +\sum _{i=1}^{i=m}k_{i}\mathbf {v} _{i}\,\colon \,k_{1},\dots ,k_{m}\in \mathbb {N} \right\},}$

куда ${\displaystyle m}$ некоторое целое число и ${\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{m}}$ фиксированные векторы в ${\displaystyle \mathbb {N} ^{d}}$. Подмножество ${\displaystyle \mathbb {N} ^{d}}$ как говорят полулинейный если это конечное объединение линейных множеств.

Полулинейные множества - это в точности множества, определяемые в Пресбургерская арифметика.^[1]

Смотрите также

• Теорема Фреймана

Рекомендации

1. Гинзбург, Сеймур; Спаниер, Эдвин Генри (1966). «Полугруппы, формулы Пресбургера и языки». Тихоокеанский математический журнал. 16: 285–296.

• Натансон, Мелвин Б. (1996). Аддитивная теория чисел: обратные задачи и геометрия сумм. Тексты для выпускников по математике. 165. Springer. ISBN  0-387-94655-1. Zbl  0859.11003.