Обобщенное разложение по сингулярным числам - Generalized singular value decomposition

В линейная алгебра, то обобщенное сингулярное разложение (GSVD) - это название двух разных методов, основанных на разложение по сингулярным числам. Две версии различаются, потому что одна версия раскладывает две (или более) матрицы (как и PCA высшего порядка ), а в другой версии используется набор ограничений, накладываемых на левый и правый сингулярные векторы.

Версия высшего порядка

В обобщенное сингулярное разложение (GSVD) это матричное разложение более общий, чем разложение по сингулярным числам. Его представил Ван Лоан.^[1] в 1976 году и позже разработан Пейдж и Сондерс. СВД и ГСВД, а также некоторые другие возможные обобщения СВД^[2][3][4], широко используются при изучении кондиционирование и регуляризация линейных систем относительно квадратичной полунормы

Позволять ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$, или же ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }$.Данные матрицы ${\displaystyle A\in \mathbb {F} ^{m\times n}}$ и ${\displaystyle B\in \mathbb {F} ^{p\times n}}$, их GSVD определяется как^[5]

${\displaystyle A=U\Sigma _{1}[X,0]Q^{*}}$

и

${\displaystyle B=V\Sigma _{2}[X,0]Q^{*}}$

куда ${\displaystyle U\in \mathbb {F} ^{m\times m},V\in \mathbb {F} ^{p\times p}}$, и ${\displaystyle Q\in \mathbb {F} ^{n\times n}}$ находятся унитарные матрицы, и ${\displaystyle X\in \mathbb {F} ^{r\times r}}$ неособая, где ${\displaystyle r=rank([A^{*},B^{*}])}$. Также,${\displaystyle \Sigma _{1}\in \mathbb {F} ^{m\times r}}$ неотрицательная диагональ, и ${\displaystyle \Sigma _{2}\in \mathbb {F} ^{p\times r}}$ неотрицательная блочно-диагональная, с диагональными блоками; ${\displaystyle \Sigma _{2}}$ не всегда диагональный. Он считает, что ${\displaystyle \Sigma _{1}^{T}\Sigma _{1}=\lceil \alpha _{1}^{2},\dots ,\alpha _{r}^{2}\rfloor }$ и ${\displaystyle \Sigma _{2}^{T}\Sigma _{2}=\lceil \beta _{1}^{2},\dots ,\beta _{r}^{2}\rfloor }$, и это ${\displaystyle \Sigma _{1}^{T}\Sigma _{1}+\Sigma _{2}^{T}\Sigma _{2}=I_{r}}$. Из этого следует ${\displaystyle 0\leq \alpha _{i},\beta _{i}\leq 1}$.Отношения ${\displaystyle \sigma _{i}=\alpha _{i}/\beta _{i}}$ называются обобщенные сингулярные значения из ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$. Если ${\displaystyle B}$ квадратна и обратима, то обобщенные сингулярные значения находятся сингулярные значения, и ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$ - матрицы сингулярных векторов матрицы ${\displaystyle AB^{-1}}$. Далее, если ${\displaystyle B=I}$, то GSVD сводится к разложению по сингулярным числам, объясняя название.

Взвешенная версия

Взвешенная версия обобщенное сингулярное разложение (GSVD) является ограниченным матричное разложение с ограничениями на левый и правый сингулярные векторы разложение по сингулярным числам.^[6][7][8] Эта форма GSVD является продолжением СВД в качестве таких. Учитывая СВД из м × п вещественная или комплексная матрица M

${\displaystyle M=U\Sigma V^{*}\,}$

куда

${\displaystyle U^{*}W_{u}U=V^{*}W_{v}V=I.}$

Где я это единичная матрица и где ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$ ортонормированы с учетом их ограничений (${\displaystyle W_{u}}$ и ${\displaystyle W_{v}}$). Кроме того, ${\displaystyle W_{u}}$ и ${\displaystyle W_{v}}$ положительно определенные матрицы (часто диагональные матрицы весов). Эта форма GSVD является ядром некоторых методов, таких как обобщенный анализ главных компонентов и Анализ корреспонденции.

Взвешенная форма GSVD называется так потому, что при правильном подборе весов он обобщает многие техники (такие как многомерное масштабирование и линейный дискриминантный анализ )^[9]

Приложения

GSVD, сформулированный как сравнительное спектральное разложение,^[10] успешно применяется в обработке сигналов и науке о данных, например, в обработке геномных сигналов.^[11][12][13]

Эти приложения вдохновили на несколько дополнительных сравнительных спектральных разложений, то есть GSVD более высокого порядка (HO GSVD)^[14]и тензор GSVD.^[15][16]

Рекомендации

1. Ван Лоан CF (1976). «Обобщение разложения сингулярных значений». SIAM J. Numer. Анальный. 13 (1): 76–83. Bibcode:1976SJNA ... 13 ... 76 В. Дои:10.1137/0713009.
2. Hansen PC (1997). Недостаток ранга и дискретные некорректные задачи: численные аспекты линейного обращения. Монографии СИАМ по математическому моделированию и вычислениям. ISBN  0-89871-403-6.
3. де Моор Б.Л., Голуб Г.Х. (1989). "Обобщенные разложения по сингулярным значениям: предложение по стандартной номенклатуре" (PDF).
4. де Моор Б. Л., Жа Х (1991). «Дерево обобщений обыкновенного сингулярного разложения». Линейная алгебра и ее приложения. 147: 469–500. Дои:10.1016 / 0024-3795 (91) 90243-П.
5. Paige CC, Saunders MA (1981). «К обобщенному разложению сингулярных значений». SIAM J. Numer. Анальный. 18 (3): 398–405. Bibcode:1981SJNA ... 18..398P. Дои:10.1137/0718026.
6. Джоллифф ИТ (2002). Анализ главных компонентов. Серия Спрингера в статистике (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-0-387-95442-4.
7. Гринакр М (1983). Теория и приложения анализа соответствий. Лондон: Academic Press. ISBN  978-0-12-299050-2.
8. Абди Х, Уильямс LJ (2010). "Анализ главных компонентов". Междисциплинарные обзоры Wiley: вычислительная статистика. 2 (4): 433–459. Дои:10.1002 / wics.101.
9. Абди Х (2007). «Разложение по сингулярным значениям (SVD) и обобщенное разложение по сингулярным значениям (GSVD)». В Salkind NJ (ред.). Энциклопедия измерения и статистики. Таузенд-Оукс (Калифорния): Шалфей. стр.907 –912.
10. Альтер О., Браун П.О., Ботштейн Д. (март 2003 г.). «Обобщенное разложение по сингулярным значениям для сравнительного анализа наборов данных экспрессии в масштабе генома двух разных организмов». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки. 100 (6): 3351–6. Bibcode:2003ПНАС..100.3351А. Дои:10.1073 / пнас.0530258100. ЧВК  152296. PMID  12631705.
11. Ли СН, Альперт Б.О., Шанкаранараянан П., Альтер О. (январь 2012 г.). «Сравнение GSVD сопоставленных с пациентом нормальных и опухолевых профилей aCGH показывает глобальные изменения числа копий, предсказывающие выживаемость мультиформной глиобластомы». PLOS One. 7 (1): e30098. Bibcode:2012PLoSO ... 730098L. Дои:10.1371 / journal.pone.0030098. ЧВК  3264559. PMID  22291905.
12. Айелло К.А., Поннапалли С.П., Альтер О. (сентябрь 2018 г.). «Математически универсальный и биологически последовательный генотип астроцитомы кодирует трансформацию и предсказывает фенотип выживания». APL Bioengineering. 2 (3): 031909. Дои:10.1063/1.5037882. ЧВК  6215493. PMID  30397684.
13. Поннапалли С.П., Брэдли М.В., Девайн К., Боуэн Дж., Коппенс С.Е., Лераас К.М., Милаш Б.А., Ли Ф., Ло Х, Цю С., Ву К., Ян Х., Виттвер К.Т., Палмер К.А., Дженсен Р.Л., Гастье-Фостер Дж.М., Hanson HA, Barnholtz-Sloan JS, Alter O (май 2020 г.). «Ретроспективное клиническое испытание экспериментально подтверждает паттерн глиобластомы на весь геном в отношении изменений числа копий ДНК, предиктора выживания». APL Bioeng. 4 (2): 026106. Дои:10.1063/1.5142559. Пресс-релиз.
14. Ponnapalli SP, Saunders MA, Van Loan CF, Alter O (декабрь 2011 г.). «Обобщенное разложение сингулярных чисел высшего порядка для сравнения глобальной экспрессии мРНК от множества организмов». PLOS One. 6 (12): e28072. Bibcode:2011PLoSO ... 628072P. Дои:10.1371 / journal.pone.0028072. ЧВК  3245232. PMID  22216090.
15. Санкаранараянан П., Шомай Т.Э., Айелло К.А., Альтер О (апрель 2015 г.). «Тензорный GSVD опухоли, сопоставимой с пациентом и платформой, и нормальных профилей числа копий ДНК раскрывает характерные для всей руки хромосомы паттерны не связанных с платформой изменений, кодирующих трансформацию клеток и предсказывающих выживаемость при раке яичников». PLOS One. 10 (4): e0121396. Bibcode:2015PLoSO..1021396S. Дои:10.1371 / journal.pone.0121396. ЧВК  4398562. PMID  25875127.
16. Брэдли М.В., Айелло К.А., Поннапалли С.П., Хансон А.А., Альтер О. (сентябрь 2019 г.). «Обнаруженные GSVD и тензорным GSVD паттерны изменений числа копий ДНК предсказывают выживаемость аденокарцином в целом и в ответ на платину». APL Bioengineering. 3 (3): 036104. Дои:10.1063/1.5099268. ЧВК  6701977. PMID  31463421. Дополнительный материал.

дальнейшее чтение

• Голуб Г., Ван Займ С. (1996). Матричные вычисления (Третье изд.). Балтимор: Издательство Университета Джона Хопкинса. ISBN  0-8018-5414-8.
• ЛАПАК руководство [1]