Геометротермодинамика - Geometrothermodynamics

В физике геометротермодинамика (ГТД) формализм, разработанный в 2007 году Эрнандо Кеведо для описания свойств термодинамический системы в терминах концепций дифференциальной геометрии.^[1]

Рассмотрим термодинамическую систему в рамках классической равновесной термодинамики. Состояния термодинамического равновесия рассматриваются как точки абстрактного равновесного пространства, в котором риманова метрика может быть введена несколькими способами. В частности, можно ввести Гессен такие показатели, как Информационная метрика Fisher, то Метрика Вайнхольда, то Метрика Руппайнера и другие, компоненты которых вычисляются как гессиан определенного термодинамический потенциал.

Другая возможность - ввести метрики, не зависящие от термодинамического потенциала, свойство, которое присуще всем термодинамическим системам в классической термодинамике.^[2] Поскольку изменение термодинамического потенциала эквивалентно изменению Превращение Лежандра, и преобразования Лежандра не действуют в пространстве равновесия, необходимо ввести вспомогательное пространство для корректной обработки преобразований Лежандра. Это так называемое термодинамическое фазовое пространство. Если фазовое пространство снабжено инвариантной по Лежандру римановой метрикой, можно ввести гладкое отображение, которое индуцирует термодинамическую метрику в равновесном многообразии. Затем термодинамическую метрику можно использовать с разными термодинамическими потенциалами без изменения геометрических свойств равновесного многообразия. Ожидается, что геометрические свойства равновесного многообразия связаны с макроскопическими физическими свойствами.

Детали этого отношения можно резюмировать в трех основных моментах:

1. Кривизна - это мера термодинамического взаимодействия.
2. Особенности кривизны соответствуют фазовым переходам кривизны.
3. Термодинамические геодезические соответствуют квазистатическим процессам.

Геометрические аспекты

Основным ингредиентом GTD является (2п + 1) -мерное многообразие ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ с координатами ${\displaystyle Z^{A}=\{\Phi ,E^{a},I^{a}\}}$, куда ${\displaystyle \Phi }$ - произвольный термодинамический потенциал, ${\displaystyle E^{a}}$, ${\displaystyle a=1,2,\ldots ,n}$, - обширные переменные, а ${\displaystyle I^{a}}$ интенсивные переменные. Также можно каноническим образом ввести фундаментальную форму ${\displaystyle \Theta =d\Phi -\delta _{ab}I^{a}dE^{b}}$ (суммирование по повторяющимся индексам) с ${\displaystyle \delta _{ab}={\rm {diag}}(+1,\ldots ,+1)}$, который удовлетворяет условию ${\displaystyle \Theta \wedge (d\Theta )^{n}\neq 0}$, куда ${\displaystyle n}$ - число термодинамических степеней свободы системы, инвариантно относительно преобразований Лежандра^[3]

${\displaystyle \{Z^{A}\}\longrightarrow \{{\widetilde {Z}}^{A}\}=\{{\tilde {\Phi }},{\tilde {E}}^{a},{\tilde {I}}^{a}\}\ ,\quad \Phi ={\tilde {\Phi }}-\delta _{kl}{\tilde {E}}^{k}{\tilde {I}}^{l},\quad E^{i}=-{\tilde {I}}^{i},\quad E^{j}={\tilde {E}}^{j},\quad I^{i}={\tilde {E}}^{i},\quad I^{j}={\tilde {I}}^{j}\ ,}$

куда ${\displaystyle i\cup j}$ - произвольное дизъюнктное разложение множества индексов ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$,и ${\displaystyle k,l=1,\ldots ,i}$. В частности, для ${\displaystyle i=\{1,\ldots ,n\}}$ и ${\displaystyle i=\emptyset }$ получаем полное преобразование Лежандра и тождество соответственно. ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ существует метрика ${\displaystyle G}$ которое также инвариантно относительно преобразований Лежандра. Триада${\displaystyle ({\mathcal {T}},\Theta ,G)}$ определяет риманову контактный коллектор которое называется термодинамическим фазовым пространством (фазовым многообразием). Пространство состояний термодинамического равновесия (равновесное многообразие) ann-мерно. Риманово подмногообразие ${\displaystyle {\mathcal {E}}\subset {\mathcal {T}}}$индуцированный гладким отображением ${\displaystyle \varphi :{\mathcal {E}}\rightarrow {\mathcal {T}}}$, т.е. ${\displaystyle \varphi :\{E^{a}\}\mapsto \{\Phi ,E^{a},I^{a}\}}$, с ${\displaystyle \Phi =\Phi (E^{a})}$и ${\displaystyle I^{a}=I^{a}(E^{a})}$, так что ${\displaystyle \varphi ^{*}(\Theta )=\varphi ^{*}(d\Phi -\delta _{ab}I^{a}dE^{b})=0}$ держит, где ${\displaystyle \varphi ^{*}}$ это откат ${\displaystyle \varphi }$. Коллектор ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ естественно снабжается римановой метрикой ${\displaystyle g=\varphi ^{*}(G)}$. Цель GTD - продемонстрировать, что геометрические свойства ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ связаны с термодинамическими свойствами системы с фундаментальным термодинамическим уравнением ${\displaystyle \Phi =\Phi (E^{a})}$Условие инвариантности относительно тотальных преобразований Лежандра приводит к метрике

${\displaystyle G^{I}=(d\Phi -\delta _{ab}I^{a}dE^{b})^{2}+\Lambda \,(\xi _{ab}E^{a}I^{b})\left(\delta _{cd}dE^{c}dI^{d}\right)\ ,\quad \delta _{ab}={\rm {diag}}(1,\ldots ,1)}$

${\displaystyle G^{II}=(d\Phi -\delta _{ab}I^{a}dE^{b})^{2}+\Lambda \,(\xi _{ab}E^{a}I^{b})\left(\eta _{cd}dE^{c}dI^{d}\right)\ ,\quad \eta _{ab}={\rm {diag}}(-1,1,\ldots ,1)}$

куда ${\displaystyle \xi _{ab}}$ - постоянная диагональная матрица, которая может быть выражена через ${\displaystyle \delta _{ab}}$ и${\displaystyle \eta _{ab}}$, и ${\displaystyle \Lambda }$ - произвольная лежандрово-инвариантная функция от ${\displaystyle Z^{A}}$. Метрики ${\displaystyle G^{I}}$ и ${\displaystyle G^{II}}$ были использованы для описания термодинамических систем с фазовыми переходами первого и второго рода соответственно. Наиболее общая метрика, инвариантная относительно частичных преобразований Лежандра, - это

${\displaystyle G^{III}=(d\Phi -\delta _{ab}I^{a}dE^{b})^{2}+\Lambda \,(E_{a}I_{a})^{2k+1}\left(dE^{a}dI^{a}\right)\ ,\quad E_{a}=\delta _{ab}E^{b}\ ,\quad I_{a}=\delta _{ab}I^{b}\ .}$

Компоненты соответствующей метрики для равновесного многообразия ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ можно вычислить как

${\displaystyle g_{ab}={\frac {\partial Z^{A}}{\partial E^{a}}}{\frac {\partial Z^{B}}{\partial E^{b}}}G_{AB}\ .}$

Приложения

GTD применялся для описания лабораторных систем, таких как идеальный газ, газ Ван-дер-Ваальса, модель Изинга и т. Д., Более экзотических систем, таких как черные дыры в различных теориях гравитации,^[4] в контексте релятивистской космологии,^[5] и описывать химические реакции.^[6]

Рекомендации

1. Кеведо, Эрнандо (2007). «Геометротермодинамика». J. Math. Phys. 48: 013506. arXiv:физика / 0604164. Bibcode:2007JMP .... 48a3506Q. Дои:10.1063/1.2409524.
2. Каллен, Герберт Б. (1985). Термодинамика и введение в термостатистику. John Wiley & Sons Inc. ISBN  0-471-86256-8.
3. Арнольд, В. (1989). Математические методы классической механики. Springer Verlag. ISBN  0-387-96890-3.
4. Quevedo, H .; Sanchez, A .; Taj, S .; Васкес, А. (2011). «Фазовые переходы в геометротермодинамике». Gen. Rel. Грав. 43: 1153. arXiv:1010.5599. Bibcode:2011GReGr..43.1153Q. Дои:10.1007 / s10714-010-0996-2.
5. Авилес, А. (2012). «Расширение обобщенной модели газа Чаплыгина с помощью геометротермодинамики». Phys. Ред. D. 86: 063508. arXiv:1203.4637. Bibcode:2012ПхРвД..86ф3508А. Дои:10.1103 / PhysRevD.86.063508.
6. Тапиас, Д. (2013). «Геометрическое описание химических реакций». arXiv:1301.0262. Bibcode:2013arXiv1301.0262Q.